人間の指であれば，親指と人差し指で物体を器用に把持（ピンチング）できますが，それは指が柔らかいために物体と面接触し，そこに働く摩擦力と微妙に物体をころがして接触面を移動させるという巧みな調節が無意識のうちに働くことによって，物体が安定に拘束されているためです．

　人間の腕や手は冗長関節系になっていますが，いちいち複雑な計算をしながら制御されているわけでもないのに冗長性が自然に解消されています．しかし，ロボットの場合，うまく把持するという動作の調節は簡単にはいきません．

　そこでここでは最も簡単な場合，すなわち，２次元の凸多角形に対して辺に直交する力を加えて水平面上で動かないようにするという問題を考えます．この場合，物体にかかる力の和＝０，トルク（回転モーメント）の和＝０となることが平衡（平行移動も回転もしない）のための物理的条件です．

　はじめに三角形物体を考えると，任意の三角形物体は３つの固定点で不動化できることがこの物理的条件から証明されるのですが，辺上の３点をＰ1，Ｐ2，Ｐ3とすると，これらの点からその辺に垂直な線を引き，この３つの直線が１点Ｏで交わるというのが不動化のための条件となります．

　このような点Ｏの典型例は，点Ｏが三角形の最大内接円の中心（すなわち内心）となることで，そのとき，Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3は最大内接円と三角形の接点（すなわち内心から各辺に下ろした垂線の足）として与えられます．

　しかし，点Ｏは必ずしも三角形の内部にある必要はなく，点Ｏから各辺に下した垂線の足がその辺上で交わればよいのです．辺の延長線上ではいけません．

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【１】把持定理

　三角形は３点で不動化可能ですが，一般に凸多角形は４点で不動化できます．この場合も最大内接円が関係してきます．さらに細かくいうと，長方形，平行四辺形，台形のように平行な辺をもつ凸多角形ではどうしても４点が必要になりますが，平行な辺をもたない任意の凸多角形は３点で不動化できます．

　この定理の３次元版は少し複雑になりますが，任意の３次元多面体は６点で，平行面をもたない多面体は４点で不動化できることが証明されています．

　さらに，任意のｎ次元胞体の場合，固定点は２ｎ個，平行な胞（ｎ−１次元対応物）をもたないときはそれよりずっと少なくでき，ｎ＋１個まで減らせることが示されています．

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【２】まとめと雑感

　二本の箸で豆をつまむことは難しい．３次元空間で球（四面体）を直線で把持するためには最低４本必要である（２次元空間で円板（三角形）を直線で把持するためには最低３本必要である）．

　これらのことからふと思ったのですが，これらの定理はｎ次元超立方体や双対立方体を平面に投影すると２ｎ角形（３次元立方体であれば影の形は６角形になる），ｎ次元正単体を投影すると輪郭はｎ＋１角形になることと関係しているのかもしれません．正直いってよくわかりませんが，ひょっとすると類似の方法が使えないかと期待しています．小生の希望に過ぎませんが・・・

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