２０１１年に

［Ｑ］３辺の長さが整数でかつ等差数列をなす三角形で，その面積が整数になるようなものは？

という問題を紹介した．

　今回のコラムでは

［Ｑ］３辺の長さｘ，ｙ，ｚが整数でかつ長さの平方ｘ^2，ｙ^2，ｚ^2が等差数列をなす三角形は？

を紹介したいと思う．

　　［参］大野泰生・松井優「白熱！無差別級数学バトル」日本評論社

に掲載されている問題を改変．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2，Ｓ＝ａｂ／２，ａ＞ｂ

とおく．（ａ，ｂ，ｃ）はピタゴラス数で，Ｓはその面積というわけである．

　　ａ＝ｌ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｌｍｎ，ｃ＝ｌ（ｍ^2＋ｎ^2），ｍ＞ｎ

　このとき，

　　ｘ＝ａ−ｂ，ｙ＝ｃ，ｚ＝ａ＋ｂ

　　ａ＝（ｘ＋ｚ）／２，ｂ＝（ｚ−ｘ）／２，ｃ＝ｙ

とおくと，

　　ｘ^2＋４Ｓ＝ｙ^2，ｙ^2＋４Ｓ＝ｚ^2

ｘ^2，ｙ^2，ｚ^2は公差ｄ＝４Ｓの等差数列で，ｘ^2＋ｚ^2＝２ｙ^2が成り立つ．

　　ｄ＝４Ｓ＝２ａｂ＝４ｌ^2ｍｎ（ｍ^2−ｎ^2）＝４ｌ^2｛ｎ（ｍ−１）ｍ（ｍ＋１）−ｍ（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）｝

連続する３個の自然数の積は３！＝６の倍数であるから，ｄは２４の倍数となる．

　ただし，ｄはすべての２４の倍数をとりうるわけではなく，

　　ｄ＝２４，９６，１２０，・・・可能

　　ｄ＝４８，７２，・・・不可能

　　ｘ＝ｌ｜ｍ^2−ｎ^2−２ｍｎ｜，ｙ＝ｌ（ｍ^2＋ｎ^2），ｚ＝ｌ（ｍ^2＋ｎ^2−２ｍｎ），ｔ＝ｍ／ｎ（＞１）とおくことにより，

　　ｙ＝（ｔ^2＋１）ｘ／｜ｔ^2−２ｔ−１｜

　　ｚ＝（ｔ^2＋２ｔ−１）ｘ／｜ｔ^2−２ｔ−１｜

　たとえば，ｔ＝２とおくことにより，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｋ，５ｋ，７ｋ）→ＮＧ，ほかにも（７ｋ，１３ｋ，１７ｋ）→ＯＫ，（７ｋ，１７ｋ，２９ｋ）→ＮＧ，（２３ｋ，３７ｋ，４７ｋ）→ＯＫなどが求まる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［おまけ］

　連続する３個の自然数の積は３！＝６の倍数である

　連続する４個の自然数の積は４！＝２４の倍数である

　連続するｋ個の自然数の積はｋ！の倍数である

［エルデシュ・セルフリッジの定理］

　連続する３個の自然数の積は平方数とはならない

　連続する４個の自然数の積は平方数，立方数とはならない

　連続するｋ（＞１）個の自然数の積はある数のベキ乗数とはならない

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝