歴史的にみて，群は代数方程式の解の置換の研究として誕生しました．アミダクジのように，元と元を１対１で置換する写像は群をなします．この群を対称群，その部分群を置換群と呼びます．また，偶置換全体も対称群の部分群になっていて，これを交代群と呼びます．
群の概念を生み出したのがこの置換群なのですが，アーベルの定理（１８２４年）を一般化して，ガロアは代数方程式の解集合の置換群と代数方程式の可解性の密接な関係を発見しました．単純群とは自分自身と単位群だけからなる自明なものを除いて，正規部分群を含まない群をいうのですが，５次以上の交代群Ａnは単純群となります．そして，交代群Ａ5は位数最小の非可解群であることが証明されています（ガロアの定理）．また，それを部分群として含むＳn，Ａn（ｎ≧５）の非可解性も証明されます．
すなわち，５次以上の代数方程式に代数的解法がない（＝方程式の係数間の加減乗除とベキ根ととるという操作によって得られない）のは，この性質の基づくことがアーベル・ガロア理論から明確になったのです．そのとき使われたアイデアが群と呼ばれる概念で，対称変換群の性質により，この難問がこともなげに解けてしまうのです．これは非常に驚くべきことであって，ガロア理論は２０世紀以後の代数学の研究対象を変えてしまい，抽象代数学と呼ばれる分野が誕生したのです．
２００１年に掲載したコラム「代数学小史」ではこの部分が尻切れトンボになってしまいましたので，今回のコラムでは
［参］ペジック「アーベルの証明」日本評論社
の助けを借りて，その部分を補完しておきたいと思います．
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【１】５次方程式への挑戦
５次方程式：
ａｘ^5＋ｂｘ^4＋ｃｘ^3＋ｄｘ^2＋ｅｘ＋ｆ＝０
の代数的解法，すなわち四則演算＋，−，×，÷と根号√，3√，4√，・・・によって解を求めるという問題は，いまからほとんど４世紀も昔の問題です．
一般に，ｎ次方程式：
ａnｘ^n＋ａn-1ｘ^(n-1)＋・・・＋ ａ1ｘ＋ａ0＝０
に対してｘ’＝ｘ＋ａn-1 ／ｎａn と変換（カルダノ変換）するとｘ^(n-1)の項が０である方程式に還元できます．３次方程式では２次の項，４次方程式では３次の項を欠いた方程式に変形しましたが，ではもっと低次の項の係数を０にできないか？と考えるのは自然な発想でしょう．
カルダノ・オイラー・フェラーリ・デカルトの解法は，いずれもカルダノ変換から説明される方法ですが，チルンハウスとその弟子たちは，
ｘ^5＋ａ1ｘ^4＋ａ2ｘ^3＋ａ3ｘ^2＋ａ4ｘ＋ａ5＝０
に対して
ｙ＝ｘ^4＋ｂ1ｘ^3＋ｂ2ｘ^2＋ｂ3ｘ＋ｂ4
という変換を行い，うまくｂ1，・・・，ｂ4を選ぶ方法を考えました（チルンハウス変換：１６８３年）．
そうすることによって，４次の項と３次の項のない５次方程式が得られたのですが，さらに１８４３年にジラールは２次の項も消去できることを示しました．つまり，一般の５次方程式を
ｘ^5＋ｐｘ＋ｑ＝０
まで還元できることが判ったわけです（実際にこの作業を行うのは容易ではなく，コンピュータなしでは絶望的です）．
この形は根と係数の関係を発見したジラールにちなんでジラールの標準形と呼ばれているのですが，ここでｐ＝０ならば−ｑの５乗根としてｘは求まります（ｑ＝０ならば４次方程式に帰着できます）．しかし，さらにｐ＝０にしようとすると，６次方程式を解く必要が生じて，問題がかえって難しくなってしまいました．
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【２】ラグランジュと置換
ラグランジュは，一般のｎ次方程式のｎ個の根ｘ1，ｘ2，・・・，ｘnと１のｎ乗根ζの式：
Ｒ＝Σζ^(k-1)ｘk
を根とする方程式の性質を詳しく考察し，方程式論に置換群の概念を導入した意義は重要です．
ラグランジュの基本的なアイディアは，これまで研究されてきた方程式の根の公式を対称性の視点から見つめ直すことにあったのですが，３次方程式の３根ｘ1，ｘ2，ｘ3をとり，
Ｒ＝（ｘ1＋ωｘ2＋ω^2ｘ3）^3
を考えてみましょう．
３根ｘ1，ｘ2，ｘ3の置換は３！＝６通りあるのですが，それらはＲにたった２種類の値をとらせるだけです．このことは非常に驚くべきことなのですが，
Ｒ＝（ｘ1＋ωｘ2＋ω^2ｘ3）^3＝ｘ1^3＋ｘ2^3＋ｘ3^3＋６ｘ1ｘ2ｘ3＋３ω（x1^2ｘ2＋ｘ2^2ｘ3＋ｘ3^2ｘ1）＋３ω^2（x1ｘ2^2＋ｘ2ｘ3^2＋ｘ3ｘ1^2）
となることから理解されます．そして，このことを用いると３次方程式は２次方程式に還元されるのです．
４次方程式の場合は，４根ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4に対して，
Ｒ＝（ｘ1＋ｉｘ2−ｘ3−ｉｘ4）^4
ではなく
Ｒ＝（ｘ1＋ｘ2−ｘ3−ｘ4）^2
を考えます．すると４！＝２４通りの置換に対して，Ｒは３個の異なる値
Ｒ1＝（ｘ1＋ｘ2−ｘ3−ｘ4）^2
Ｒ2＝（ｘ1＋ｘ3−ｘ2−ｘ4）^2
Ｒ3＝（ｘ1＋ｘ4−ｘ2−ｘ3）^2
しかとらないことがわかります．
このように４次方程式は３次方程式に還元されるわけですが，４次以下の方程式については，解の置換によって方程式の次数よりも小さな次数の方程式の解法に還元できることがわかりました．
以上のことをもっと正確に表現すると，
(1)ｎが素数ならば，Ｒ^nは次数が（ｎ−１）の方程式の解であり，その係数は（ｎ−２）！次の方程式の解から決定される
(2)ｎが素数でないとき，Ｒ^pは次数（ｐ−１）の方程式の解であり，ｎ＝ｐｑとするとその係数はｎ！／（ｐ−１）ｐ（ｑ！）^p次の方程式の解から決定される
となります．
４次方程式のときは３次方程式に還元できましたが，５次方程式については６次方程式，６次方程式については１０（あるいは１５次）方程式になってしまうというのです．したがって，４次方程式までと同様の方法を５次方程式に試みると失敗することがわかります．しかし，ラグランジュはまだ５次方程式は可解ではないと確信するところまでは至っていませんでした．古い方法で失敗したところを新しい方法で突破できるという希望を抱いていたのです．
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【３】ガロアと群
１８２４年，アーベルは一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことを証明しましたが，まだ核心部分（ガロア理論）には到達しておりませんでした．
ｎ次方程式の根の置換を考えると，それはｎ次対称群Ｓnの対称性を有しているのですが，ガロア理論によると，ｎ次方程式を解くということはＳnのなかに不変部分群（正規部分群）を見つけることに対応しています．
正規部分群をもたない群は単純群と呼ばれるわけですから，単純群であるかどうかが方程式が可解か可解でないかを決定することになります．実際にはＡ5が最小の非可換な単純群であり，Ｓ5＞Ａ5ですから一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことがわかるのです．
あらすじはこのとおりですが，この点のガロアの洞察はガロアがアーベルを超えたところといえるわけです．少し詳細に見ていくことにしましょう．
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３文字１，２，３の置換全体のなす群が３次対称群Ｓ3で，その位数は３！＝６です．幾何学的にイメージするために１つの正三角形を考えてみましょう．三角形の中心まわりの角度１２０°の右回り回転をａとすると，ａは３回やると元に戻るので
ａ^3＝１
また，頂点を通る中心線に関して裏返す作用をｂとすると
ｂ^2＝１
２種類の作用の相互関係は
ａｂ＝ｂａ^2
と書けます．
Ｓ3は２元｛ａ，ｂ｝によって生成される
｛１，ａ，ａ^2，ｂ，ｂａ，ｂａ^2｝
となるのですが，これは位数６の正２面体群，すなわち，位数３の巡回群｛１，ａ，ａ^2｝とその裏返し｛ｂ，ｂａ，ｂａ^2｝とからなる（回転∪鏡映）群と同一です．
６×６の群表（ケイリー表）を書けば，どの元も各行各列にちょうど１回ずつ登場し，魔方陣のようであることが理解されるでしょう．
１ ａ ａ^2 ｂ ｂａ ｂａ^2
１ １ ａ ａ^2 ｂ ｂａ ｂａ^2
ａ ａ ａ^2 １ ｂａ^2 ｂ ｂ
ａ^2 ａ^2 １ ａ ｂａ ｂａ^2 ｂ
ｂ ｂ ｂａ ｂａ^2 １ ａ ａ^2
ｂａ ｂａ ｂａ^2 ｂ ａ^2 １ ａ
ｂａ^2 ｂａ^2 ｂ ｂａ ａ ａ^2 １
「正２面体群」とは，正ｎ角形をそれ自身に移す回転全体のなす群であって，重心を通る垂直軸を中心とした回転と対称軸を中心としたπ回転から生成される位数２ｎの群と幾何学的に考えることができます．この正２面体という奇妙な名前は，２枚の正多角形を貼り合わせたものをつぶれた多面体と見なすことから由来しているのですが，２つの生成元ａ，ｂが
ａ^2＝ｂ^n＝（ａｂ）^2＝１
という関係を満たすことを確かめられたい．
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Ｓ2が可換群，巡回群であるのに対して，Ｓ3は回転と互換（鏡映）を合成するとき，その順序によって結果が変わるので非可換です．互換は奇置換なのですが，回転は常に偶置換となっているため，回転だけを取り出せば可換群，巡回群となります．
Ｓ3から偶置換だけを抽出したものが３次交代群Ａ3です．すなわち，Ａ3は回転だけからなり互換は含まないので可換群というわけです．幾何学的には正三角形の回転（巡回群Ｃ3）と同一です．
１ ａ ａ^2
１ １ ａ ａ^2
ａ ａ ａ^2 １
ａ^2 ａ^2 １ ａ
このＡ3はＳ3の不変部分群（正規部分群）になっていて，Ｓ3がＡ3を不変部分群として含む，また，Ａ3は恒等置換だけを含んでいる，そしてこの相互関係を記号化すると
Ｓ3＞Ａ3＞Ｉd（恒等置換）
となります．３次方程式を解くということはＳ3のなかに不変部分群Ａ3を見つけることに対応していて，この関係よりＳ3は可解群であることがわかるというわけです．
Ｓ3（＝Ｄ3）は主対角線に関して非対称ですから，交換法則が成り立たない非可換群で，Ｓ3は位数が最小の非可換群として重要な存在となっています．
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４文字１，２，３，４の置換全体のなす群が４次対称群Ｓ4で，その位数は４！＝２４です．Ｓ4は２つの生成元ａ，ｂによって生成され，基本関係式は
ａ^3＝ｂ^4＝（ａｂ）^2＝１
となります．
Ｓ4の場合，正方形ではなく正四面体を幾何学的にイメージすることになるのですが，互換は正四面体の回転として捉えることはできず，鏡映変換を必要とします．
Ｓ3同様，Ｓ4は回転と互換の両方を含んでいるのですが，互換を含めて空間的な回転だけでＳ4を表現するには，立方体の４本の対角線あるいは正八面体の向かい合う面の中心を結ぶ４本の線分を使うことになります．
Ｓ4は立方体あるいは正八面体の回転対称性であり，Ｓ4の偶置換からなる部分群Ａ4は正四面体の回転対称性を表すのですが，４次交代群Ａ4のの基本関係式は
ａ^3＝ｂ^3＝（ａｂ）^2＝１
となります．しかし，Ｓ4の位数は４！＝２４，群表は２４×２４，Ａ4の位数は４！／２＝１２，群表は１２×１２になるので，大きすぎてここでは紹介できません．
Ｓ4もＡ4も非可換なのですが，Ａ4のなかに可換な部分群Ｖ（位数４）が含まれています．Ｖは可換群ではあるが巡回群Ｃ4ではありません．実はＤ2＝Ｃ2×Ｃ2なのですが，これについては後述することにします．ともあれ，可解鎖
Ｓ4＞Ａ4＞｛Ｉd，Ｖ｝＞｛Ｉd｝
よりＳ4は可解群であることがわかります．このように可換な不変部分群を見つけることで，４次方程式を３次方程式に還元することが可能になるのです．
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Ｓ5の位数は５！＝１２０，群表は１２０×１２０，Ａ5の位数は５！／２＝６０，群表は６０×６０となります．どの正多面体もＳ5の回転対称性をもってはいないのですが，Ａ5は正１２面体あるいは正２０面体の回転対称性を表現しています．５次交代群Ａ5の基本関係式は
ａ^3＝ｂ^5＝（ａｂ）^2＝１
となります．
Ａ5も非可換で，恒等置換以外には不変部分群をもっていません．
Ｓ5＞Ａ5＞｛Ｉd｝
不変部分群をもたない群は単純群と呼ばれるのですが，Ａ5は最小の非可換な単純群です（ガロアの定理）．ベキ根による可解性を決定づけるものは可換性なのであって，任意の可換群は可解群です（逆は成立しない）．
このことから一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことがわかるのです．なお，Ｓ5の回転対称性をもつ正多面体が存在しないことと５次方程式の非可解性の間には因果関係は存在しないので誤解なさらないように！
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【４】群論・概説
代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４＝２^2，５の体は存在するが，位数６＝２×３の体は存在しない．そして，位数７，８＝２^3，９＝３^2の体は存在して，位数１０＝２×５のものは存在しない．位数１１，１３の集合は体となるが，位数１２＝２^2×３，１４＝２×７のなす集合は決して体にはならない．
そして，任意のｎに対してｎ元の群は存在し，位数２の群は１つ，位数３の群は１つ，位数４の群は２つある．すると，位数５の群は？，位数６の群は？，・・・という疑問が湧いてくるのは自然な成り行きであろう．結論を先にいうと
ｎ 群の型
１ 単位群｛ｅ｝
２ Ｚ2＝Ｓ2＝Ｄ1
３ Ｚ3＝Ａ3
４ Ｚ4，Ｄ2＝Ｚ2×Ｚ2
５ Ｚ5
６ Ｚ6，Ｄ3＝Ｓ3
７ Ｚ7
８ Ｚ8，Ｚ4×Ｚ2，Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2，Ｄ4，Ｑ4
９ Ｚ9，Ｚ3×Ｚ3
10 Ｚ10，Ｄ5
11 Ｚ11
12 Ｚ12，Ｚ6×Ｚ2，Ｄ6＝Ｄ3×Ｚ2，Ａ4，Ｑ6
13 Ｚ13
14 Ｚ14，Ｄ7
15 Ｚ15
16 Ｚ16，Ｚ8×Ｚ2，Ｚ4×Ｚ4，Ｚ4×Ｚ2×Ｚ2，Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2，
Ｄ8，Ｑ8，Ｚ2×Ｄ4，Ｚ2×Ｑ4など，合計１４個
ｎ 群の個数 ｎ 群の個数
２ １ 10 ２
３ １ 11 １
４ ２ 12 ５
５ １ 13 １
６ ２ 14 ２
７ １ 15 １
８ ５ 16 １４
９ ２
ｎ 群の個数 ｎ 群の個数
17 １ 27 ５
18 ５ 28 ４
19 １ 29 １
20 ５ 30 ４
21 ２ 31 １
22 ２ 32 ５１
23 １ 64 ２６７
24 １５ 128 ２３２８
25 ２ 256 ５６０９２
26 ２ 512 １０４９４２１３
となる．→コラム「因数分解の算法」（その５），（その６）参照
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位数４の群は，同型であるものを除いて，巡回群Ｃ4と直積Ｃ2×Ｃ2の２つしかない．それぞれの群表は
× ｅ ａ ｂ ｃ × ｅ ａ ｂ ｃ
ｅ ｅ ａ ｂ ｃ ｅ ｅ ａ ｂ ｃ
ａ ａ ｂ ｃ ｅ ａ ａ ｅ ｃ ｂ
ｂ ｂ ｃ ｅ ａ ｂ ｂ ｃ ｅ ａ
ｃ ｃ ｅ ａ ｂ ｃ ｃ ｂ ａ ｅ
となる．前述のＶはＤ2＝Ｃ2×Ｃ2と同型である．
Ｄ2（位数４の正２面体群）はクラインの４元群と呼ばれるもので，長方形（菱形）の対称性のなす群であり，クラインの４元群のすべての元は２乗すると単位元になることから，自分自身が逆元という特徴をもっている．クラインの４元群をＤ2と表すのは，それが仮想的な正２角形の対称変換群と見なされるからである．
位数６の巡回群Ｃ6（正六角形の回転群）は省略して，次に位数６の正２面体群：Ｄ3について考察してみよう．実は，素数ｐに対し位数２ｐの群は巡回群Ｚ2pか正２面体群Ｄpと同型であるという定理がある．そこで，証明抜きで結論を述べると，位数６の有限群は
(1)位数６の巡回群Ｃ6（可換群のとき）
(2)３次対称群Ｓ3＝Ｄ3（非可換群のとき）
のいずれかに同型である．
位数が５以下の群がすべて可換群であったのに対して，Ｓ3は位数最小の非可換群として重要な存在となっている．正２面体群は正ｎ角形を自分自身にうつす写像全体をなすわけであるが，正３角形に対する正２面体群Ｄ3（位数６）はＳ3と同型，正方形に対する正２面体群Ｄ4（位数８）は，Ｓ4（位数２４）の部分群である．
位数１２の群には正４面体群があり，これは４次の交代群：Ａ4と同型であるが，巡回群Ｃ12や正２面体群Ｄ6とは異なるものである．Ａ4は正４面体，Ｓ4は正６（８）面体，Ａ5は正１２（２０）面体の対称変換群であり，いずれも非可換群群である．交代群Ａ5は位数最小の非可解群であることが証明されている（ガロアの定理）．
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【５】ＳＯ（３）の回転群
正多面体の回転を考えると，
(1)頂点と原点を通る軸を中心とした２πｋ／ｑ回転
(2)辺の中心と原点を通る軸を中心としたπ回転
(3)面の重心と原点を通る軸を中心とした２πｋ／ｐ回転
の３つが可能な回転軸である．
これらの回転によって，正４面体（位数１２）では４つの頂点の偶置換を引き起こすので４次交代群Ａ4と同型，正８面体（位数２４）では対面する面は４組あり，これらの組の置換を引き起こすので４次対称群Ｓ4と同型，正２０面体（位数６０）では３０個の辺を５組に分ける偶置換として作用するので５次交代群Ａ5と同型になることがわかる．
ＳＯ（３）の有限部分群Ａ4，Ｓ4，Ａ5はＲ^3の５種類の正多面体と密接な関係があり，Ｓ4は正６面体（正８面体：中心に関して点対称）を変えぬ運動の集合，Ａ4は正４面体（点対称性はもたないが，面対称性をもっている）を変えぬ運動の集合，Ａ5は正１２面体（正２０面体：中心に関して点対称）を変えぬ運動の集合であって，総称して「正多面体群」と呼ばれている．
正多面体の回転群は３次の特殊直交群ＳＯ（３）の有限部分群であるが，ＳＯ（３）にはこのほかに２種類の有限部分群がある．一つは巡回群，もうひとつは正２面体群であり，巡回群は正２面体群の部分群となっている．これらでＳＯ（３）の有限部分群をつくすことが知られている．巡回群，正２面体群とＡ4，Ｓ4，Ａ5とを併せて（広義の）正多面体群と呼ぶこともある．
以上より，ＳＯ（３）の有限合同変換群は，
(1)巡回群（Ｃn：位数ｎ）
(2)正２面体群（Ｄ2n：位数２ｎ）
(3)４次交代群（Ａ4：位数１２）←→正４面体群と同型
(4)４次対称群（Ｓ4：位数２４）←→正６（８）面体群と同型
(5)５次交代群（Ａ5：位数６０）←→正１２（２０）面体群と同型
のいずれかである．
なお，Ｏ（３）の有限部分群は，ＳＯ（３）の有限部分群５系列と原点に対する対称変換（裏返し）を部分群にもつ５系列，どちらにも属さないもの４系列が加わるため，合計１４の系列に分類される．
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【６】鏡映群
３次元回転群の説明のところで，正２面体群は回転群ではなくて鏡映群なのではないかと思われた方がおられるに違いない．
位数ｎの巡回群とは，平面上の正ｎ角形の重心を通る垂直軸を中心とした回転軸のまわりの２π／ｎの倍数だけの回転の集合（回転群）であり，ＳＯ（２）の有限部分群はすべて巡回群となる．これをスローガン的に書けば，
「ＳＯ（２）の有限合同変換群は巡回群につきる」
となる．巡回群を「正多角形群」といい換えてもよかろう．一方，Ｏ（２）の有限合同変換群には，巡回群を部分群にもつ正２面体群が含まれる．
平面の回転群をそのまま空間の群と見なしたものが巡回群であるが，ＳＯ（３）ではその裏返しも存在し，位数ｋの巡回群（回転運動）とその鏡映ｓからなる
｛１，ω，ω^2，・・・，ω^(k-1)，ｓ，ｓω，ｓω^2，・・・，ｓω^(k-1)｝
が正２面体群（位数２ｋ）である．前述のように，「正２面体群」とは，正ｎ角形をそれ自身に移す回転全体のなす群であって，重心を通る垂直軸を中心とした回転と対称軸を中心としたπ回転から生成される位数２ｎの群と幾何学的に考えることができる．
平面の正２面体群は２つの鏡映ｓ，ｔによって生成される鏡映群であるが，３次元空間では正２面体群は正ｎ角柱と同じ回転対称性をもち，回転群と考えることができるのである．すなわち，３次元空間の有限回転群は
(1)３種類の正多面体群（正四面体群，正八面体群，正二十面体群）
(2)正ｎ角柱と同じ回転対称性をもつ正２面体群
(3)正ｎ角錐と同じ回転対称性をもつ巡回群
と表現したほうがわかりやすいであろう．
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話の順序が逆になったが，いくつかの鏡映変換により生成される直交変換群を鏡映群という．高次元の場合は超平面に対する鏡映となるが，言葉を換えると互換に対応する変換といってもよいだろう．
鏡映群は数学の様々に分野で広く現れる重要な研究対象である．無限の鏡映群は基本的には直交群しかないが，有限の鏡映群は
Ａn（ｎ≧１），Ｂn（ｎ≧２），Ｄn（ｎ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｈ3，Ｈ4，Ｉ2(ｐ)（ｐ＝５またはｐ≧７）
に分類される．
ここで，Ａn，Ｄnは交代群，正２面体群の意ではなく，リー群のおける記号である．下付きの指数はそれが働く空間の次元である．Ａnはｎ次元正単体の対称性の群と解釈することができる．Ｂnはｎ次元立方体（正８面体）の対称性の群であり，位数は２^nｎ！である．ＤnはＢnに対応する群の指数２の部分群に対応している．
平面の正三角形状の格子はＡ2格子，正方形格子はＤ2格子である．それぞれＧ2格子，Ｂ2格子と呼んでも格子としては同一である．３次元のＡ3格子（＝Ｄ3格子）へ面心立方格子を与える．４次元のＤ4格子（＝Ｆ4格子）は４次元の体心立方格子であり，正２４細胞体による４次元空間の充填形に相当する．８次元のＥ8格子は例外型リー環の属する．
Ｈ3は正２０面体の対称性の群に対応し，Ｉ2(ｐ)は正２面体群Ｄpに対応している．Ｈ4とＦ4はそれぞれ４次元の正多胞体（正２４胞体，正６００胞体）に対応している．ここにあげられた群はＨ3，Ｈ4，Ｉ2(ｐ)（ｐ＝５またはｐ≧７）を除いて，すべて結晶群である．→コラム「コクセター群のはなし」参照
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