どのような多角形でも辺の長さを変えずに，内角を変えて円に内接させることができます．また，どのような多角形でも辺の長さを変えずに，内角を変えて囲む面積を最大にすることができます．

　ｎ≧４のとき，各辺の長さが指定されたｎ角形の中で，面積が最大のものは円に内接します．さらに周の長さが指定されたｎ角形の中で，面積が最大のものは正ｎ角形です（円を球帽に変えれば球面ｎ角形に対しても成り立つ）．

　単位円に内接する凸ｎ角形の周長Ｌは

　　Ｌ＝２（ｓｉｎα1＋・・・＋ｓｉｎαn）

これより，

　　Ｌ≦２ｎｓｉｎ（π／ｎ）

また，外接する場合，

　　Ｌ＝２（ｔａｎα1＋・・・＋ｔａｎαn）

　　Ｌ≧２ｎｔａｎ（π／ｎ）

　一般に，凸ｎ角形の面積Ｓ，周長Ｌ，内接円の半径ｒ，外接円の半径Ｒの間には，次の不等式が成り立ちます．

　　２ｎｒｔａｎ（π／ｎ）≦Ｌ≦２ｎＲｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｎｒ^2ｔａｎ（π／ｎ）≦Ｓ≦１／２ｎＲ^2ｓｉｎ（２π／ｎ）

　等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立ちますから，定円に外接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最小であり，内接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最大となります．このことは直観的にも理解されるでしょう．

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　　［参］大野泰生・松井優「白熱！無差別級数学バトル」日本評論社

に掲載されている問題です．

［Ｑ］５辺の長さがＡＢ＝３，ＢＣ＝３，ＣＤ＝２，ＤＥ＝２，ＥＡ＝２である五角形の面積の最大値を求めよ．

［Ａ］ＡＣ＝ｘ，ＣＥ＝ｙ，∠ＡＢＣ＝γ，∠ＣＤＥ＝δとおく．余弦定理より

　　ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2−２ＡＢ・ＢＣｃｏｓγ

　　ＡＣ^2＝ＣＥ^2＋ＥＡ^2−２ＣＥ・ＥＡｃｏｓ（π−γ）＝ＣＥ^2＋ＥＡ^2＋２ＣＥ・ＥＡｃｏｓγ

→ｘ^2＝１８（１−ｃｏｓγ），ｘ^2＝ｙ^2＋４＋４ｙｃｏｓγ

　同様に，

→ｙ^2＝８（１−ｃｏｓδ），ｙ^2＝ｃ^2＋４＋４ｘｃｏｓδ

→ｃｏｓγ＝（１４−ｙ^2）／２（２ｙ＋９），ｃｏｓδ＝（２−ｘ）／４

→ｙ＝７／２，ｘ＝３３／８

　あとは，ヘロンの公式Ｓ＝（ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ））^1/2，，ブラーマグプタの公式Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2　　（ｄ＝０のときヘロンの公式になる）を利用すると，

　　Ｓ＝５／２・√１５

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