連続するｋ個の自然数の積

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）

がｋ！で割り切れることは

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！

が整数であることがいえればよいのであるが，

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！＝nＣk

すなわち，組み合わせの総数＝整数であるから明らかであろう．

　ｐを素数，ｍを自然数とするとき，

　　（ｐ^m，ｐ^m-1）＝ｐ　ｍｏｄ　ｐ^2

　　（ｐ^m+n-2，ｋ）＝（ｐ^n-1，ｌ）　ｍｏｄ　ｐ^n

　　　　　ｋ＝ｐ^m-1ｌ，ｌ＝０，１，・・・，ｐ^n-1のとき

　　（ｐ^m+n-2，ｋ）＝０　ｍｏｄ　ｐ^n　　（それ以外）

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【１】二項係数の整除性

［１］リュカ（１８７２年）

ｐを素数，０≦ｑ＜ｐ，０≦ｒ＜ｐとする．

（ｐｎ＋ｑ，ｐｋ＋ｒ）＝（ｎ，ｋ）（ｑ，ｒ）　ｍｏｄ　ｐ

［２］ヤコブスタール（１９５２年）

ｐを素数，ｐ≧５とする．

（ｐｎ＋ｑ，ｐｋ＋ｒ）−（ｎ，ｋ）＝０　ｍｏｄ　ｐ^3

［３］クペルベルグ（１９９９年）

ｐを素数，（２ｐ，ｐ＝（２，１）＝０　ｍｏｄ　ｐ^4とする

（ｐｎ，ｐｋ）＝（ｎ，ｋ）　ｍｏｄ　ｐ^4

［４］シュワルツ（１９５９年）

ｐを素数，ｐ≧５とする．

（ｐ^2，ｐ）＝（ｐ，１）＝０　ｍｏｄ　ｐ^5

［５］ツイーヴ（２０００年）

ｐを素数，ｐ≧５とする．

（ｎｐ^m，ｋｐ^m）＝（ｎｐ^m-1，ｋｐ^m-1）　ｍｏｄ　ｐ^3m

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