空間充填２^n＋２ｎ面体の頂点数と辺数について，再考してみたい．格子空間で（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の置換を考えると１辺の長さはｘ／２・√２，（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）では１辺の長さはｘ／２・√２になる．

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［１］ｎ＝３のとき

　第１象限にある頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）を考えてみます．鏡映対称変換によって，第１象限内に移る点はその置換３！個（＝正六角形）です．胞の位置には全部で８枚の正六角形ができます．また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ／２，ｘ，０）と（ｘ，０，ｘ／２）の２点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）の周囲には４点（ｘ，±ｘ／２，０），（ｘ，０，±ｘ／２）からなる正方形ができるので，８＋６＝１４面体となるわけです．直接，点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限以外の点は（ｘ，０，−ｘ／２）です．

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［２］ｎ＝４のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の置換は４！／２！２！＝６個（＝正八面体）あります．胞の位置には全部で１６個の正八面体ができます．また，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ，０，ｘ，０），（ｘ，０，０，ｘ），（０，ｘ，ｘ，０），（０，ｘ，０，ｘ）の４点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の周囲には６点（ｘ，±ｘ，０，０），（ｘ，０，±ｘ，０），（ｘ，０，０，±ｘ）からなる正八面体ができるので，１６＋８＝正２４胞体となるわけです．直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限以外の点は（ｘ，０，−ｘ，０），（ｘ，０，０，−ｘ），（０，ｘ，−ｘ，０），（０，ｘ，０，−ｘ）の４点です．

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［３］ｎ＝５のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の置換は５！／２！２！＝３０個ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ／２，ｘ，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ／２，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ，０，ｘ／２，０），（ｘ，ｘ，０，０，ｘ／２）の４点です．

　また，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の周囲には（ｘ，±ｘ，±ｘ／２，０，０）の置換４！／２！・４＝４８個ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）と結ばれる第１象限以外の点は（ｘ，ｘ，０，−ｘ／２，０），（ｘ，ｘ，０，０，−ｘ／２）の２点です．

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［４］ｎ＝６のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）の置換は６！／３！３！＝２０個あり，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ，ｘ，０，ｘ，０，０）（ｘ，ｘ，０，０，ｘ，０），（ｘ，ｘ，０，０，０，ｘ），（ｘ，０，ｘ，ｘ，０，０），（ｘ，０，ｘ，０，ｘ，０），（ｘ，０，ｘ，０，０，ｘ），（０，ｘ，ｘ，ｘ，０，０）（０，ｘ，ｘ，０，ｘ，０），（０，ｘ，ｘ，０，０，ｘ）の９点です．

　また，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）の周囲には（ｘ，±ｘ，±ｘ，０，０，０）の置換５！／２！３！・４＝４０個ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）と結ばれる第１象限以外の点は（ｘ，ｘ，０，−ｘ，０，０），

（ｘ，ｘ，０，０，−ｘ，０），（ｘ，ｘ，０，０，０，−ｘ），（ｘ，０，ｘ，−ｘ，０，０），（ｘ，０，ｘ，０，−ｘ，０），（ｘ，０，ｘ，０，０，−ｘ），（０，ｘ，ｘ，−ｘ，０，０），（０，ｘ，ｘ，０，−ｘ，０），（０，ｘ，ｘ，０，０，−ｘ）の９点です．

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【１】一般化

［１］ｎが奇数のとき

　直接，点Ｐと結ばれる第１象限内の点はｎ−１点，

　直接，点Ｐと結ばれる第１象限以外の点は（ｎ−１）／２

　切頂面の頂点数：（ｎ−１）！／（（ｎ−１）／２）！｛（ｎ−３）／２｝！・２^(n-1)/2

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［２］ｎが偶数のとき，

　直接，点Ｐと結ばれる第１象限内の点は（ｎ／２）^2点，

　直接，点Ｐと結ばれる第１象限以外の点は（ｎ／２）^2点

　切頂面の頂点数：（ｎ−１）！／（ｎ／２）！｛（ｎ−２）／２｝！・２^(n-2)/2

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【２】ｆ0公式

［１］ｎが奇数のとき

　　ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！／２^(n-1)/2・２^n

　＝ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！・２^(n+1)/2

ここで，ｍ＝（ｎ−１）／２とおくと

　　ｎ2mＣm・２^(m+1)＝（２ｍ＋１）2mＣm・２^(m+1)

［２］ｎが偶数のとき

　　ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！／２^n/2・２^n

　＝ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！・２^n/2

ここで，ｍ＝ｎ／２とおくと

　　2mＣm・２^m

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【３】ｆ1公式

［１］ｎが奇数のとき

　　ｅ＝ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！（ｎ−１）／２＝ｎ2mＣm・ｍ

とおくと

ｅ／２（１／２^(n-3)/2＋１／２^(n-1)/2）・２^n

　＝ｅ（２^(n+1)/2＋２^(n-1)/2）＝３ｅ２^(n-1)/2

［２］ｎが偶数のとき，

　　ｅ＝ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！・（ｎ／２）^2／２＝2mＣm・ｍ^2／２

とおくと

ｅ（１／２^(n-2)/2）・２^n＝ｅ２^(n+2)/2

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