正軸体の形状ベクトルに関係した（４次元の）

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１

の正単体版対応物を求めてみるためには，立方格子の格子線の交角を６０°になるようにゆかめた斜交座標系を考える．

　すると，点Ｑ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn-1，０）から，

　　ｘ1＝ａ1平面（１−ｘ1／ａ1＝０平面）

　　ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面

までの距離が等しいことより，

　　ａ1−ｘ1＝（ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2）／（１／ａ1^2＋１／ａ2^2）^1/2＝・・・＝（ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1）／（１／ａn-2^2＋１／ａn-1^2）^1/2

　　ｘn＝０

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　この計算はＰ0が原点になるようにしたうえで，基本単体上の原点を通らない平面

　　ｘ1＝ａ1平面（１−ｘ1／ａ1＝０平面）

と原点を通る平面

　　ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面

までの距離が等しい点Ｑ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn-1，０）を求めるものである．

　これで求められた点Ｑは，同じファセットｘn＝０上へ反転することができる．それでは他のファセット（ｘn≠０）上に反転するにはどうしたらいいだろうか？

　基本単体の頂点（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ａn）は，正単体の重心であるから

　　ｘn-1／ａn-1−ｘn／ａn＝０平面

に関して反転すると他のファセット（ｘn≠０）上に反転されることになる．

　それをさらに

　　ｘ1＝ａ1平面（１−ｘ1／ａ1＝０平面）

　　ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面

に関して反転することを繰り返すのである．

　なお，各ファセットの重心座標は，

　　Ｐ0（０，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1（２ａ1，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ2（ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）

　　Ｐ3（ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn-1（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐn（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

であるから，たとえば，Ｐ1を外したファセットでは

　　（（ｎ−１）ａ1／ｎ，（ｎ＋１）ａ2／ｎ，・・・，（ｎ＋１）ａn／ｎ）

Ｐ2を外したファセットでは

　　（ａ1，（ｎ−２）ａ2／ｎ，（ｎ＋１）ａ3／ｎ，・・・，（ｎ＋１）ａn／ｎ）

Ｐ3を外したファセットでは

　　（ａ1，ａ2，（ｎ−３）ａ3／ｎ，（ｎ＋１）ａ4／ｎ，・・・，（ｎ＋１）ａn／ｎ）

となる．

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