■n次元の立方体と直角三角錐(その299)

【1】4次元正軸体の切頂と切稜

[1]形状ベクトル(1,0,0,0)の場合→切頂のみ

  (y−z)/√2=(z−w)/√2=w=0,y=z=w=0

 →(±x,0,0,0)の置換であるから8通り

 →x=1

→(x,0,0,0)は同じ象限に3本(0,x,0,0),(0,0,x,0),(0,0,0,x)

 他の象限に3本(0,−x,0,0),(0,0,−x,0),(0,0,0,−x)→(m=6)

→最小偏差Δ=xは0→xの偏差である

[2]形状ベクトル(0,1,0,0)の場合→切頂のみ

  (x−y)/√2=0,(z−w)/√2=w=0,x=y,z=w=0

 →(±x,±x,0,0)の置換であるから24通り

 →x=y=1/2,z=w=0

→(x,x,0,0)は同じ象限に4本(x,0,x,0),(x,0,0,x),(0,x,x,0),(0,x,0,x)

 他の象限に4本(x,0,−x,0),(x,0,0,−x),(0,x,−x,0),(0,x,0,−x)→(m=8)

→最小偏差Δ=xは0→xの偏差である

[3]形状ベクトル(0,0,1,0)の場合→切頂のみ

  (x−y)/√2=(y−z)/√2=0,x=y=z,w=0

 →(±x,±x,±x,0)の置換であるから32通り

 →x=y=z=1/3,w=0

→(x,x,x,0)は同じ象限に3本(x,x,0,x),(x,0,x,x),(0,x,x,x)

 他の象限に3本(x,x,0,−x),(x,0,x,−x),(0,x,x,−x)→(m=6)

→最小偏差Δ=xは0→xの偏差である

[4]形状ベクトル(0,0,0,1)の場合→切頂のみ

  (x−y)/√2=(y−z)/√2=(z−w)/√2=0,x=y=z=w

 →(±x,±x,±x,±x)の置換であるから16通り

 →x=y=z=w=1/4

→(x,x,x,x)は同じ象限に0本

 他の象限に4本(−x,x,x,x),(x,−x,x,x),(x,x,−x,x),(x,x,x,−x)→(m=4)

→最小偏差Δ=0はxからの偏差である

[5]形状ベクトル(1,1,0,0)の場合→切頂のみ

  (z−w)/√2=w=0,z=w=0

  (x−y)/√2=(y−z)/√2

 →(±x,±y,0,0)の置換であるから48通り

 →x=2/3,y=1/3,z=w=0

→(x,y,0,0)は同じ象限に3本(y,x,0,0),(x,0,y,0),(x,0,0,y)

 他の象限に2本(x,0,−y,0),(x,0,0,−y)→(m=3)

→最小偏差Δ=yは0→y,y→xの偏差である

[6]形状ベクトル(1,0,1,0)の場合→切頂・切稜

  (y−z)/√2=w=0,y=z,w=0

  (x−y)/√2=(z−w)/√2

 →(±x,±y,±y,0)の置換であるから96通り

 →x=1/2,y=z=1/4,w=0

→(x,y,y,0)は同じ象限に4本(y,x,y,0),(y,y,x,0),(x,y,0,y),(x,0,y,y)

 他の象限に2本(x,0,y,−y),(x,y,0,−y)→(m=6)

→最小偏差Δ=yは0→y,y→xの偏差である

[7]形状ベクトル(1,0,0,1)の場合→切頂・切稜・切面

  (y−z)/√2=(z−w)/√2=0,y=z=w

  (x−y)/√2=w

 →(±x,±y,±y,±y)の置換であるから64通り

 →y=z=w=1/(4+√2),x=(1+√2)/(4+√2)

→(x,y,y,y)は同じ象限に3本(y,x,y,y),(y,y,x,y),(y,y,y,x)

 他の象限に3本(x,y,y,−y),(x,y,−y,y),(x,−y,y,y)→(m=6)

→最小偏差Δ=y√2はy→xの偏差である

[8]形状ベクトル(0,1,1,0)の場合→切頂・切面

  (x−y)/√2=w=0,x=y,w=0

  (y−z)/√2=(z−w)/√2

 →(±x,±x,±z,0)の置換であるから96通り

 →x=y=2/5,z=1/5,w=0

→(x,x,z,0)は同じ象限に3本(z,x,x,0),(x,z,x,0),(x,x,0,z)

 他の象限に1本(x,x,0,z)→(m=4)

→最小偏差Δ=zは0→z,z→xの偏差である

[9]形状ベクトル(0,1,0,1)の場合→切頂・切面

  (x−y)/√2=(z−w)/√2=0,x=y,z=w

  (y−z)/√2=w

 →(±x,±x,±z,±z)の置換であるから96通り

 →z=w=1/(4+2√2),x=y=(1+√2)/(4+2√2)

→(x,x,z,z)は同じ象限に4本(z,x,x,z),(x,z,x,z),(z,x,x,z),(x,z,z,x)

 他の象限に2本(x,x,−z,z),(x,x,z,−z)→(m=6)

→最小偏差Δ=zはz→xの偏差である

[10]形状ベクトル(0,0,1,1)の場合→切頂のみ

  (x−y)/√2=(y−z)/√2=0,x=y=z

  (z−w)/√2=w

 →(±x,±x,±x,±w)の置換であるから64通り

 →w=1/(4+3√2),x=y=z=(1+√2)/(4+3√2)

→(x,x,x,w)は同じ象限に3本(w,x,x,x),(x,w,x,x),(x,x,w,x)

 他の象限に1本(x,x,x,−w)→(m=4)

→最小偏差Δ=w√2はw→xの偏差である

[11]形状ベクトル(1,1,1,0)の場合→切頂・切稜

  w=0

  (x−y)/√2=(y−z)/√2=(z−w)/√2

 →(±x,±y,±z,0)の置換であるから192通り

 →x=1/2,y=1/3,z=1/6,w=0

→(x,y,z,0)は同じ象限に3本(x,y,0,z),(x,z,y,0),(y,x,z,0)

 他の象限に1本(x,y,0,−z)→(m=4)

→最小偏差Δ=zは0→z,z→y,y→xの偏差である

[12]形状ベクトル(1,1,0,1)の場合→切頂・切稜・切面

  (z−w)/√2=0,z=w

  (x−y)/√2=(y−z)/√2=w

 →(±x,±y,±z,±z)の置換であるから192通り

 →z=w=1/(4+3√2),y=(1+√2)/(4+3√2),x=(1+2√2)/(4+3√2)

→(x,y,z,z)は同じ象限に3本(x,z,y,z),(x,z,z,y),(y,x,z,z)

 他の象限に2本(x,y,z,−z),(x,y,−z,z)→(m=5)

→最小偏差Δ=z√2はz→y,y→xの偏差である

[13]形状ベクトル(1,0,1,1)の場合→切頂・切稜・切面

  (y−z)/√2=0,y=z

  (x−y)/√2=(z−w)/√2=w

 →(±x,±y,±y,±w)の置換であるから192通り

 →w=1/(4+4√2),y=z=(1+√2)/(4+4√2),x=(1+2√2)/(4+4√2)

→(x,y,y,w)は同じ象限に4本(x,w,y,y),(x,y,w,y),(y,x,y,w),(y,y,x,w)

 他の象限に1本(x,y,y,−w)→(m=5)

→最小偏差Δ=w√2はw→y,y→xの偏差である

[14]形状ベクトル(0,1,1,1)の場合→切頂・切面

  (x−y)/√2=0,x=y

  (y−z)/√2=(z−w)/√2=w

 →(±x,±x,±z,±w)の置換であるから192通り

 →w=1/(4+5√2),z=(1+√2)/(4+5√2),x=y=(1+2√2)/(4+5√2)

→(x,x,z,w)は同じ象限に3本(x,x,w,z),(x,z,x,w),(z,x,x,w)

 他の象限に1本(x,x,z,−w)→(m=4)

→最小偏差Δ=w√2はw→z,z→xの偏差である

[15]形状ベクトル(1,1,1,1)の場合→切頂・切稜・切面

  (x−y)/√2=(y−z)/√2=(z−w)/√2=w

 →(±x,±y,±z,±w)の置換であるから384通り

 →w=1/(4+6√2),z=(1+√2)/(4+6√2),y=(1+2√2)/(4+6√2),x=(1+3√2)/(4+6√2)

→(x,y,z,w)は同じ象限に3本(x,y,w,z),(x,z,y,w),(y,x,z,w)

 他の象限に1本(x,y,z,−w)→(m=4)

→最小偏差Δ=w√2はw→z,z→y,y→xの偏差である

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【2】まとめ

 対角線も含め、最小の長さのものが辺となる.x>y>z>wかつx+y+z+w=1であるから,最小偏差とそれがどこからの偏差なのかで,次数が規定されると思われる.

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