３次元準多面体，たとえば，切頂八面体はすべての次元を通じて，唯一

［ａ］空間充填２（２^n−１）胞体

かつ

［ｂ］空間充填２^n＋２ｎ胞体

という性質をもつ多面体である．また，その面数ベクトルはｆ＝（２４，３６，１４）で与えられる．

［ａ］の場合は｛３，３｝（１，１，１）であるが，頂点の回りに｛３｝（１，１）＝正六角形，面の回りに｛３｝（１，１）＝正六角形，辺の回りに正方形ができるから，辺数は

　　（４・６＋４・６＋６・４）／２＝３６

［ｂ］の場合は｛３，４｝（１，１，０）であるが，頂点の回りに｛４｝（１，０）＝正方形，面の回りに｛３｝（１，１）＝正六角形ができるから，辺数は

　　（４・６＋６・８）／２＝３６

　このように，新たに生ずる辺を数えるのではなく，わざと重複を許して数えてみたらどうだろうか？

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【１】４次元正単体系（ｇ0，ｇ1）＝（５，１０，１０，５）

［１］切頂切稜型

　［１，０，１，０］（３０，９０）では，頂点の位置に正単体系［０，１，０］（６，１２），辺の位置に正単体系［１，０］（３，３）柱，ファセットの位置に正単体系［１，０，１］（１２，２４）が入ると考える．

　　（１２×５＋９×１０＋２４×５）／３＝９０

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　［１，０，０，１］（２０，６０）では，頂点の位置に正単体系［０，０，１］（４，６），辺の位置に正単体系［０，１］（３，３）柱，ファセットの位置に正単体系［１，０，０］（４，６），面の位置に正単体系［１，０］（３，３）柱が入ると考えると

が入ると考える．

　　（６×５＋９×１０＋６×５＋９×１０）／４＝６０

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　［１，１，１，０］（６０，１２０）では，頂点の位置に正単体系［１，１，０］（１２，１８）が入り，辺の位置に正単体系［１，０］（３，３）柱，ファセットの位置に正単体系［１，１，１］（２４，３６）が入ると考える．

　　（１８×５＋９×１０＋３６×５）／３＝１２０

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　［１，１，０，１］（６０，１５０）では，頂点の位置に正単体系［１，０，１］（１２，２４），辺の位置に正単体系［０，１］（３，３）柱，ファセットの位置に正単体系［１，１，０］（１２，１８），面の位置に正単体系［１，１］（６，６）柱が入ると考える．

　　（２４×５＋９×１０＋１８×５＋１８×１０）／４＝１２０　　（ＮＧ）

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　［１，１，１，１］（１２０，２４０）では，頂点の位置に正単体系［１，１，１］（２４，３６），辺の位置に正単体系［１，１］（６，６）柱，ファセットの位置に正単体系［１，１，１］（２４，３６），面の位置に正単体系［１，１］（６，６）柱が入ると考える．

　　（３６×５＋１８×１０＋３６×５＋１８×１０）／４＝１８０　　（ＮＧ）

　　（３６×５＋１８×１０＋３６×５＋１８×１０）／３＝２４０

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【２】４次元正軸系（ｇ0，ｇ1）＝（８，２４，３２，１６）

［１］切頂切稜型

　［１，０，１，０］（９６，２８８）では，頂点の位置に正軸体系［０，１，０］（１２，２４），辺の位置に正軸体系［１，０］（４，４）柱，ファセットの位置に正単体系［１，０，１］（１２，２４）が入ると考える．

　　（２４×８＋１２×２４＋２４×１６）／３＝２８８

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　［１，０，０，１］（６４，１９２）では，頂点の位置に正軸体系［０，０，１］（８，１２），辺の位置に正軸体系［０，１］（４，４）柱，ファセットの位置に正単体系［１，０，０］（４，６），面の位置に正単体系［１，０］（３，３）柱が入ると考える．

　　（１２×８＋１２×２４＋６×１６＋９×３２）／４＝１９２

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　［０，１，０，１］（９６，２８８）では，頂点の位置に正軸体系［１，０，１］（２４，４８），ファセットの位置に正単体系［０，１，０］（６，１２），面の位置に正単体系［０，１］（３，３）柱が入ると考える．

　　（４８×８＋１２×１６＋９×３２）／３＝２８８

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　［１，１，１，０］（１９２，３８４）では，頂点の位置に正軸体系［１，１，０］（２４，３６），辺の位置に正軸体系［１，０］（４，４）柱，ファセットの位置に正単体系［１，１，１］（２４，３６）が入ると考える．

　　（３６×８＋１２×２４＋３６×１６）／３＝３８４

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　［１，１，０，１］（１９２，４８０）では，頂点の位置に正軸体系［１，０，１］（２４，４８），辺の位置に正軸体系［０，１］（４，４）柱，ファセットの位置に正単体系［１，１，０］（１２，１８），面の位置に正単体系［１，１］（６，６）柱が入ると考える．

　　（４８×８＋１２×２４＋１８×１６＋１８×３２）／４＝３６８　　（ＮＧ）

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　［１，０，１，１］（１９２，４８０）では，頂点の位置に正軸体系［０，１，１］（２４，３６），辺の位置に正軸体系［１，１］（８，８）柱，ファセットの位置に正単体系［１，０，１］（１２，２４），面の位置に正単体系［１，０］（３，３）柱が入ると考える．

　　（３６×８＋２４×２４＋２４×１６＋９×３２）／４＝３８４　　（ＮＧ）

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　［０，１，１，１］（１９２，３８４）では，頂点の位置に正軸体系［１，１，１］（４８，７２），ファセットの位置に正単体系［０，１，１］（１２，１８），面の位置に正単体系［０，１］（３，３）柱が入ると考える．

　　（７２×８＋１８×１６＋９×３２）／３＝３８４

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　［１，１，１，１］（３８４，７６８）では，頂点の位置に正軸体系［１，１，１］（４８，７２），辺の位置に正軸体系［１，１］（８，８）柱，ファセットの位置に正単体系［１，１，１］（２４，３６），面の位置に正単体系［１，１］（６，６）柱が入ると考える．

　　（７２×８＋２４×２４＋３６×１６＋１８×３２）／４＝５７６　　（ＮＧ）

　　（７２×８＋２４×２４＋３６×１６＋１８×３２）／３＝７６８　　（ＮＧ）

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【３】まとめ

　（その２９２）の方がよい結果であった．

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