今回のコラムでは，外接球を有する中心対称な多面体をサイコロとして用い場合に各面のでる確率を求めてみることにします．２種類の面をもつ多面体を対象としますが，正多面体の場合とは違って，サイコロを投げたとき（toss）と転がしたとき（roll）では目のでる確率が異なります．
tossingは静的で，各面のでる確率はその立体角によって決まってくるので球面三角形を考える問題に帰着されます．それに対して，rollingは動的であって，たとえば辺で接地していてその真上に重心がある状態では左半分と右半分のそれぞれの重心の低い方に転がりやすいと考えられますから，物理学的な問題となります．
立方八面体をtossした場合，
四角形面：三角形面＝0.6490：0.3510
rollした場合，
四角形面：三角形面＝0.7624：0.2373
と計算されていて両者の確率は大きく異なっていますが，勢いがつくと小さな面が不利になるというわけですから，経験的にも合致している点が面白く感じられます．
rollingの方がより実感に近いと思われますが，rollしたときの確率については後回しにして，今回は任意の切頂立方体をtossした場合に各面のでる確率を切頂の深さｄの関数として表すことにします．
立方八面体に限らず，任意の切頂立方体は球に内接します．切頂立方体においてもとの立方体の１辺の長さを２，切頂される頂点から辺までの切削距離をｄとおきます（０≦ｄ≦２）．すると
ｄ＝０：立方体
０＜ｄ＜１：八角形面６枚と正三角形面８枚からなる１４面体
ｄ＝１：立方八面体
１＜ｄ＜２：正方形面６枚と六角形面８枚からなる１４面体
ｄ＝２：正八面体
で，
ｄ＝２−√２
のとき，切頂立方体（正八角形面６枚と正三角形面８枚からなる１４面体）
ｄ＝３／２
のとき，切頂八面体（正方形面６枚と正六角形面８枚からなる１４面体）ができあがります．
また，朝鮮サイコロ
ｄ＝３−√３
は球に外接（内接球が存在）し，かつ，Ｓ^3／Ｖ^2比が最小となる１４面体です．立方八面体では・・・，切頂八面体では・・・，朝鮮サイコロでは・・・とまとめて確率計算できた方が都合がいいのです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】球面三角法
半径１の球面（単位球面）上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり，それぞれが大円の弧で結ばれているものとします．球面三角形ＡＢＣの３辺の長さ（球面距離）をａ，ｂ，ｃで表すとそれぞれ大円の中心角となります．すなわち，単位球では球面距離を中心角と同一視できるわけです．また，内角Ａ，Ｂ，Ｃは大円同士が交わる面角の大きさです．
球面三角法の公式は多数ありますが，計算に便利なように単位球における式として与えられています．ここで用いるのは
ｃｏｓｃ＝ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ・ｃｏｓＣ
とその巡回置換，それに球面三角形ＡＢＣの面積Ｓを角過剰として表した
Ｓ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π
の２つだけです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】切頂立方体（０≦ｄ≦１の場合）
０＜ｄ＜１では八角形面６枚と正三角形面８枚からなる１４面体となりますが，ここでは正三角形面
Ａ（１−ｄ，１，１）
Ｂ（１，１−ｄ，１）
Ｃ（１，１，１−ｄ）
を球面三角形として設定します．
ＯＡ↑・ＯＢ↑＝｜ＯＡ↑｜｜ＯＢ↑｜ｃｏｓｃ
＝（ｄ^2−２ｄ＋３）ｃｏｓｃ＝３−２ｄ
より，
ｃｏｓｃ＝（３−２ｄ）／（ｄ^2−２ｄ＋３）
ｃｏｓｃ＝ｃｏｓａ＝ｃｏｓｂ，Ｃ＝Ａ＝Ｂ
ですから
ｃｏｓＣ＝（ｃｏｓｃ−ｃｏｓ^2ｃ）／ｓｉｎ^2ｃ
＝ｃｏｓｃ／（１＋ｃｏｓｃ）
＝（３−２ｄ）／（ｄ^2−４ｄ＋６）
より，
Ｃ＝ａｒｃｃｏｓ（３−２ｄ）／（ｄ^2−４ｄ＋６）
Ｃ＝Ａ＝Ｂですから，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３Ｃ．したがって，球面三角形ＡＢＣの面積Ｓ3は
Ｓ3＝３Ｃ−π＝ａｒｃｃｏｓ（３−２ｄ）／（ｄ^2−４ｄ＋６）−π
で与えられることがわかります．
また，
６Ｓ8＋８Ｓ3＝４π（全表面積）
より，
Ｓ8＝２π−４Ｃ＝２π−４ａｒｃｃｏｓ（３−２ｄ）／（ｄ^2−４ｄ＋６）
となります．
面のでる確率は，全表面積を単位として測りますから
八角形面：三角形面＝６Ｓ8／４π：８Ｓ3／４π
です．狭義の切頂立方体（ｄ＝２−√２）では
Ｃ＝ａｒｃｃｏｓ（（２√２−１）／４）
ですから
八角形面：三角形面＝0.906684：0.0933161
立方八面体（ｄ＝１）では，
Ｃ＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）
となりますから
四角形面：三角形面＝0.649038：0.350962
と計算されるというわけです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】切頂立方体（１≦ｄ≦２の場合）
１＜ｄ＜２では，正方形面６枚と六角形面８枚からなる１４面体となります．この場合，正方形面の対角線の長さの半分をｒとしてパラメトライズすると，
ｒ＝２−ｄ
そして，正方形面の上半分の三角形を
Ａ（０，ｒ，１）
Ｂ（ｒ，０，１）
Ｃ（−ｒ，０，１）
とすると，
ＯＡ↑・ＯＢ↑＝｜ＯＡ↑｜｜ＯＢ↑｜ｃｏｓｃ
＝（ｒ^2＋１）ｃｏｓｃ＝１
より，
ｃｏｓｃ＝１／（ｒ^2＋１）＝ｃｏｓｂ
ＯＢ↑・ＯＣ↑＝｜ＯＢ↑｜｜ＯＣ↑｜ｃｏｓａ
＝（ｒ^2＋１）ｃｏｓｃ＝１−ｒ^2
より，
ｃｏｓａ＝（１−ｒ^2）／（ｒ^2＋１）＝ｃｏｓｂ
これより
ｃｏｓＣ＝１／（ｒ^2＋２）^(1/2)＝ｃｏｓＢ
ｃｏｓＡ＝−ｒ^2／（ｒ^2＋２）
Ａ＝ａｒｃｃｏｓ（−ｒ^2／（ｒ^2＋２））＝π−ａｒｃｃｏｓ（ｒ2／（ｒ^2＋２））
と計算され
Ｓ4 ＝２（Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π）
＝２｛２ａｒｃｃｏｓ（１／（ｒ^2＋２）^(1/2)^(1/2)）−ａｒｃｃｏｓ（ｒ^2／（ｒ^2＋２））｝
＝２｛π−２ａｒｃｃｏｓ（ｒ^2／（ｒ^2＋２））｝
６Ｓ4＋８Ｓ6＝４π
で与えられることがわかります．
実際に計算してみると，切頂八面体（ｄ＝３／２）では
四角形面：六角形面＝0.212643：0.787357
朝鮮サイコロ（ｄ＝３−√３＝１．２６７９５）では
四角形面：六角形面＝0.406665：0.593335
となります．
切頂立方体（１≦ｄ≦２）をtossしたときの各面のでる確率が等しくなるにはＳ4＝Ｓ6ですから，
Ｓ4＝２π／７ （Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝８π／７）
四角形面：六角形面＝３／７：４／７
このとき，切頂の深さｄは数値計算によってｄ＝１．２４３．
一方，四角形面と六角形面のでる確率が等しくなるためには６Ｓ4＝８Ｓ6ですから
Ｓ4＝π／３ （Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝７π／６）
である必要があり，ｄ＝１．１６４と計算されます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】切稜立方体（ｄ＝２／５）の場合
切稜立方体において，もとの立方体の１辺の長さを２，正方形面の１辺の長さをｄとします（０≦ｄ≦２）．すると，
ｄ＝２・・・・・・・・・・・・・立方体
ｄ＝２（√２−１）・・・・・・・内接球をもつ１８面体(d=2*0.4142)
ｄ＝２／５・・・・・・・・・・・外接球をもつ１８面体
ｄ＝０・・・・・・・・・・・・・菱形十二面体
で
ｄ＝２（√２−１）・・・球に外接
ｄ＝２／５・・・・・・・球に内接
それ以外・・・・・・・・外接も内接もしない
ことがわかります．
外接球をもつのはｄ＝２／５のときだけなのですが，ｒ＝ｄ／２とリパラメトライズして一般的に計算してから，最後にｄ＝２／５を代入することにします．
球面三角形を
Ａ（ｒ，ｒ，１）
Ｂ（ｒ，−ｒ，１）
Ｃ（−ｒ，ｒ，１）
とすると
ＯＡ↑・ＯＢ↑＝｜ＯＡ↑｜｜ＯＢ↑｜ｃｏｓｃ
＝（２ｒ^2＋１）ｃｏｓｃ＝１
より，
ｃｏｓｃ＝１／（２ｒ^2＋１）＝ｃｏｓｂ
ＯＢ↑・ＯＣ↑＝｜ＯＢ↑｜｜ＯＣ↑｜ｃｏｓａ
＝（２ｒ^2＋１）ｃｏｓｃ＝１−２ｒ^2
より，
ｃｏｓａ＝（１−２ｒ^2）／（２ｒ^2＋１）＝ｃｏｓｂ
ｃｏｓＣ＝１／（２ｒ^2＋２）^(1/2)＝ｃｏｓＢ
ｃｏｓＡ＝−ｒ^2／（ｒ^2＋１）
Ａ＝ａｒｃｃｏｓ（−ｒ^2／（ｒ^2＋１））
＝π−ａｒｃｃｏｓ（ｒ2／（ｒ^2＋１））
Ｓ4＝２（Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π）＝２｛２ａｒｃｃｏｓ（１／（２ｒ^2＋２）^(1/2)−ａｒｃｃｏｓ（ｒ^2／（ｒ^2＋１））｝
６Ｓ4＋１２Ｓ6＝４π
ｄ＝２／５を代入すると
四角形面：六角形面＝0.0734742：0.926526
が得られます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【５】準正多面体［３，４，４，４］の場合
立方体を
ｄ＝２（√２−１）
で切稜すると正方形６枚と六角形１２枚の２種類の面をもつ１８面体ができあがります．
この１８面体は内接球をもつ唯一の切稜１８面体であるのみならず，Ｓ^3／Ｖ^2比が最小（すなわち，表面積の割に体積が大きい）という性質をもつ特別な切稜立方体となっています．
外接球はもちませんが，この切稜立方体の六角形面が３枚集まる頂点を三角錐状に削り取ることによって，準正多面体［３，４，４，４］ができあがります．この準正多面体は斜立方八面体あるいは小菱形立方八面体と呼ばれているのですが，準正多面体ですから外接球をもつようになります．
ｒ＝ｄ／２とリパラメトライズして，正三角形面
Ａ（１，ｒ，ｒ）
Ｂ（ｒ，１，ｒ）
Ｃ（ｒ，ｒ，１）
を球面三角形に設定します．
すると，
ＯＡ↑・ＯＢ↑＝｜ＯＡ↑｜｜ＯＢ↑｜ｃｏｓｃ
＝（２ｒ^2＋１）ｃｏｓｃ＝ｒ^2＋２ｒ
ｃｏｓＣ＝ｃｏｃｃ／（１＋ｃｏｓｃ）＝（ｒ^2＋２ｒ）／（３ｒ^2＋２ｒ＋１）
また，Ｃ＝Ａ＝Ｂですから，球面三角形ＡＢＣの面積Ｓ3は
Ｓ3＝３Ｃ−π
８Ｓ3＋１８Ｓ4＝４π
これより
三角形面：四角形面＝0.157896：0.842104
と確率計算されます．
［補］正多面体は球に内接・外接しますが，準正多面体は球に内接するだけで外接しません．どちらも外接球を描くことができる，つまり，立体のすべての頂点が１つの球に接するようにできるわけですが，正多面体のすべての面に接するような内接球がただ１つ存在するのに対し，準正多面体ではかならず２〜３の内接球が必要になってしまいます．ここでは準正多面体［３，４，４，４］の場合について計算しましたが，他の準正多面体についても同様に計算できるというわけです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【６】デューラーの多面体の場合
デューラーの多面体は，菱形六面体を球に内接するように切頂したものです．菱形六面体の菱形面の対角線の長さを２ｄと２，頂角をθとして，結果だけを示しますが，
ｃｏｓＣ＝｛（ｔｄ−ｄ−ｘ／２）^2−ｔ^2＋（ｚ／２）^2｝／｛２（ｔｄ−ｄ−ｘ／２）^2＋２（ｚ／２）^2｝
Ｓ3＝３Ｃ−π
２Ｓ3＋６Ｓ5＝４π
θ＝７２°を代入すると
三角形面：五角形面＝0.0753684：0.924632
が得られます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【７】まとめ（tossingしたときの確率）
切頂立方体 八角形面：三角形面＝0.906684：0.0933161
立方八面体 四角形面：三角形面＝0.649038：0.350962
切頂八面体 四角形面：六角形面＝0.212643：0.787357
朝鮮サイコロ 四角形面：六角形面＝0.406665：0.593335
切稜立方体 四角形面：六角形面＝0.0734742：0.926526
斜立方八面体 三角形面：四角形面＝0.157896：0.842104
デューラー 三角形面：五角形面＝0.0753684：0.924632
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝