【１】確率分布で用いられるその他の基礎的事項

(1)スターリングの公式

　数列｛ａn ｝と｛ｂn ｝がともに無限大に発散し，差｛ａn −ｂn ｝は無限大に発散するが，比｛ａn ／ｂn ｝は１に近づくという例に，

ｘを越えない素数の個数を与える近似的な公式（素数定理）

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘや

階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎn ｅ-n

　”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｘが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｘの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｘを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束する，

　　π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）〜１　　　（ｘ→∞）

ということです．

　スターリングの公式を誘導してみましょう．

　　ｌｏｇｎ！＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｎ＝Σｌｏｇｘ

ここで，ｙ＝ｌｏｇｘのグラフを幅が１の長方形に分割していくと，ｘが十分大きければ相対的に和の間隔が小さくなるので，和は積分に置き換えられます．

　Σｌｏｇｘ≒∫1xｌｏｇｔｄｔ

ｌｏｇｘの原始関数は置換積分よりｘｌｏｇｘ−ｘ＋Ｃと計算されますから，右辺はｘｌｏｇｘ−ｘ＋１となります．したがって，

　　ｎ！≒ｅｎn ｅ-n

が得られます．

　ｌｏｇｎ！＝ｎｌｏｇｎ−ｎ＋ｏ（ｎ），ただし，ｌｉｍｏ（ｎ）／ｎ＝０

としても大体了解されますが，もっと正確に近似すると

　∫0nｌｏｇｔｄｔ<ｌｏｇｎ！<∫1n+1ｌｏｇｔｄｔ

より

ｎｌｏｇｎ−ｎ<ｌｏｇｎ！<（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ

したがって，両辺の相加平均に近い

（ｎ＋１／２）ｌｏｇｎ−ｎでｌｏｇｎ！を近似できることになり，

　∫1xｌｏｇｔｄｔ

＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｘ−１／２ｌｏｇｘ＋δ

であること，また，ウォリスの公式：√π〜（ｎ！）2 ２2n／（２ｎ）！√ｎ

より，結局，

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎn ｅ-n

にたどりつきます．

　スターリングの近似公式は階乗の一般化であるガンマ関数の近似値としても使われています．

　　Γ（ｘ＋１）＝∫ｅ-tｔx ｄｔ〜√（２πｘ）ｘx ｅ-x

近似の程度を進めると

　　Γ（ｘ＋１）〜√（２πｘ）ｘx ｅ-x[1+1/(12x)+1/(288x^2)-139/(51840x^3)-.....}

が得られます．これらの公式ではｘが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

　スターリングの公式にもπが出現しましたが，この公式の初等的証明については，数学セミナー１９７２年６月号の黒川信重の記事を参照．スターリングの公式は２項分布の正規分布への収束を示すド・モアブル=ラプラスの定理の証明などにも用いられますが，この定理は中心極限定理の特別な場合に相当しています．

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(2)ベルヌーイ数とオイラー数

　Ｂ2k＝（−１）k-1 ・２（２ｋ）！／（２π）2k・ζ（２ｋ）

すなわちベルヌーイ数Ｂn は，オイラーのゼータ関数

ζ（2ｓ）＝Σ１／ｎ2s ＝１／１2s ＋１／２2s ＋１／３2s ＋１／４2s ＋・・・

の計算にも重要な役割を果たしていることを述べましたが，元来はベキ和の公式

S(s,n)=Σｋs ＝１s ＋２s ＋３s ＋・・・＋ｎs

を求めるために考案されたものです．

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Σｋ2 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ3 ＝ｎ2 （ｎ＋１）2 ／４

Σｋ4 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ2 ＋３ｎ−１）／３０

Σｋ5 ＝ｎ2 （ｎ＋１）2 （２ｎ2 ＋２ｎ−１）／１２

Σｋ6 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ4 ＋６ｎ3 −３ｎ＋１）／４２

Σｋ7 ＝ｎ2 （ｎ＋１）2 （３ｎ4 ＋６ｎ3 −ｎ2 −４ｎ＋２）／２４

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ですから，左辺は，ｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ2 （ｎ＋１）2 （多項式）／（整数）と書くことができます．また，Σｋs は（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）です．

　ベルヌーイはこの式の列を見て，次のようなパターンを発見しました．それを一般式の形で書くと，Σｋs は

S(s,n)

=1/(s+1){B0n^(s+1)+(s+1,1)B1n^s+･･･+(s+1,s)Bsn}

=1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Ｂk(n+1)^(s+1-k)

とＢn を含む式で表すことができます．

　具体的に係数Ｂn を求めてみましょう．有名なベルヌーイ数列｛Ｂn ｝の指数型母関数はｘ／（ｅx −１）で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は

ｘ／（ｅx −１）

＝Ｂ0/0!＋Ｂ1 ／１！ｘ＋Ｂ2 ／２！ｘ2 ＋Ｂ3 ／３！ｘ3 ＋・・・

＝ΣＢn ｘn ／ｎ！

で定義される有理数で，係数Ｂn はベルヌーイ数と呼ばれます．容易にわかるようにlim(x→0)ｘ／（ｅx −１）=1が成立します．

　定義より，ベルヌーイ級数は

べき級数（ｅx −１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ1 ＋１／３！ｘ2 ＋１／４！ｘ3 ＋・・・

の反転級数と考えることができます．

ｅx ＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ2 ＋・・・

ですから

ｘ／（ｅx −１）

=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)

=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)

=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･

=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･

これより，Ｂ0=1,Ｂ1 ＝−１／２で，ｘ／（ｅx −１）−Ｂ1 ／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅx ＋１）／（ｅx −１）は，偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項はＢ2 ＝１／６，Ｂ4 ＝−１／３０，Ｂ6 ＝１／４２，Ｂ8 ＝−１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８であとは分子が急速に大きくなり，たとえば，Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．分母は必ず６で割り切れます．

　ベルヌーイ数については，再帰公式

　　（Ｂ＋１）^n-B＾n=0

が成り立ちます．ただし，２項展開してからB^nをBnで置き換えることにします．ベルヌーイ数は数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，正則素数の判定にも顔を出す興味深い数となっています．

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　また，ベルヌーイ数と似たものにオイラー数やタンジェント数があります．オイラー数は

ｓｅｃｈｘ＝ΣＥn/n!x^n

＝Ｅ0/0!＋Ｅ2 ／２！ｘ2 ＋Ｅ4 ／４！ｘ4 ＋・・・

でべき級数

ｃｏｓｈｘ＝１＋１／２！ｘ2 ＋１／４！ｘ4 ＋１／６！ｘ6 ＋・・・

の反転級数として定義されます．

　オイラー数では再帰公式

　　（Ｅ＋１）^n-（Ｅ−１）^n=0

が成り立ちます．

E0=1,E2=-1,E4=5,E6=-61,E8=1385,E10=-50521,･･･

E1=E3=E5=･･･=0

　Ｌ（ｓ）＝　１／１s −１／３s ＋１／５s −１／７s ＋・・・

において

Ｌ（２ｎ＋１）＝(-1)n|E2n|/2^(2n+2)(2n)!π^(2n+1)

Ｌ（−ｎ）＝1/2Ｅn（解析接続）

Ｌ（２ｎ）＝（−１）n（π）^2n／４（２ｎ−１）！＊∫(0-1)E2n-1(x)sec(πx)dx

　これらについて，もっと知りたい人のためには，クヌースらによる「コンピュータの数学」共立出版刊などをお勧めします．

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(3)オイラーの定数

Ｈn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義します．（ｎ＞１ならばＨn は整数にはなりません．）

　ｎを無限大にしたとき，調和級数

　　Ｈ∞＝　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

は発散しますが，そのｎ次部分和Ｈnは離散的な世界で連続関数ｌｎｎに対応するものであり，自然対数は双曲線ｙ＝１／ｘの下の面積として定義できます．

　したがって，双曲線ｙ＝１／ｘを上と下から棒グラフではさんで近似することにより，ｌｏｇｎとｌｏｇｎ＋１の間に押し込まれまれることがわかります（∵∫１／ｘｄｘ＝ｌｏｇｘ）．したがって，Ｈn とｌｏｇｎの比｛Ｈn ／ｌｏｇｎ｝は

　Ｈn ／ｌｏｇｎ→１　　　（ｎ→∞）

です．

　一方，Ｈn とｌｏｇｎの差｛Ｈn −ｌｏｇｎ｝は確定した極限値γに収束します．

　Ｈn −ｌｏｇｎ→γ　　　（ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋Ｏ（１／ｎ），Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋ｏ（１））

　この極限値はオイラーの定数として知られており，約０．５７７２２になります．オイラーの定数の比較的よい近似値は４／７で，さらによい近似値は４１／７１で与えられます．

　Ｈn は上限と下限の間の約５８％のところにあることがわかりましたが，今日に至るまで，オイラーの定数の値は有理数とも無理数ともわかっていません．おそらく，超越数なのでしょう．

　また，オイラーの定数γを極限値ｌｉｍ（Σ１／ｋ−ｌｎｎ）を直接計算するのは収束が遅くて非効率的です．そこで，

ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ2／２＋ｘ3／３−ｘ4／４＋・・・

ｌｏｇ（１＋１／ｘ）＝１／ｘ−１／（２ｘ2）＋１／（３ｘ3）−１／（４ｘ4）＋・・・

より

ｌｏｇΓ（１＋ｓ）＝−γｓ＋ζ（２）／２ｓ^2−ζ（３）／３ｓ^3＋・・・

これを用いると

γ＝ζ（２）／２−ζ（３）／３＋ζ（４）／４−ζ（５）／５＋・・・

あるいは

γ＝１−１／２（ζ（２）−１）−１／３（ζ（３）−１）−１／４（ζ（４）−１）−・・・

などと書けることになります．これらの無限級数はかなり速く収束します．

　なお，素数の逆数の和Σ（１／ｐ）については

ｌｉｍ｛Σ（１／ｐ）−ｌｏｇｌｏｇｎ｝→０．２６１４９・・・

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【２】種々の積分変換解析法と確率分布

　積分変換解析法というと，まずラプラス変換，フーリエ変換，それに近年ではウォルシュ／アダマール変換，ウェーブレット変換などが思い浮かびますが，それ以外にも多数の変換が応用されていて，カーネルの違いから，ハンケル，メリン，ｚ，アーベル，ヒルベルト変換などがあげられます．

　関数f(x)としてsinxやxの無限積分を考えると前者は不定，後者は発散してしまいます．一方，これらの関数にexp(-x)を掛け合わせたf(x)exp(-x)を無限積分すると収束します．x>0のとき，ガンマ関数

　　Γ(s)=∫(0-∞）x^(s-1)exp(-x)dx

の存在が知られているルーツにもこのような理由があるからです．

　すなわち，exp(-x)は無限積分において不定や発散する関数を収束させる働きをもっていることが理解されます．このことより，exp(-x)の代わりにもうひとつの変数ｓを含んだexp(-sx)を考え，

　　F(s)=∫(-∞-∞）f(x)exp(-sx)dx

とおくと，無限積分の後，ｘの関数はｓの関数に変換されます．この操作をラプラス変換と呼びます．

　ラプラス変換において変数ｓは複素変数であり，フーリエ変換はラプラス変換におけるパラメータｓの実部が０である場合に相当します．応用面でいうと，フーリエ変換の理論はそれがつくられた時点から物理現象を説明するための手段でしたし，現在でもさまざまな工学分野，ＣＴスキャンなどの医療分野になくてはならない理論になっています．なぜフーリエ変換がＣＴスキャンなど医療用画像にとって重要なのかというと，短い周期をもつ成分（高調波成分）を無視してもとの図形を再現しても，その周期に対応した微細な構造が失われるだけで，再現された画像に大して悪影響はないということに起因しています．

　また，関数f(x)に対して，積分

　　h(s)=∫(0-∞）x^(s-1)f(x)dx

が存在するとき，これを関数f(x)のメリン変換といいます．exp(-x)のメリン変換はガンマ関数Γ(s)であることより，ガンマ関数の定義も１種のメリン変換ですし，また，メリン変換において，ｘをexp(-x)に置き換えれば１種のラプラス変換になっていることがわかります．

　ガンマ関数の定義式（）より

　　∫(0-∞）x^(s-1)exp(-nx)dx=Γ(s)n^(-s)

ですから，ディリクレ級数Σann^-sについて

Σann^-s=1/Γ(s)∫(0,∞)(Σanexp(-nt))t^(s-1)dt

が得られます．

　この式は，ディリクレ級数f(s)=Σann-sと同じ係数をもつベキ級数F(z)=Σanz^nは，メリン変換

　　f(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)F(exp(-t))t^(s-1)dt

によって互いに結ばれていることを意味します．

（例）ζ(ｓ)=Σ1/ｎ^sにおいてF(exp(-t))=Σexp(-nt)=1/(exp(t)-1)

φ（ｓ）＝Σ（−１）n-1／ｎs=(1-2^(1-s))ζ(ｓ)において

F(exp(-t))=Σ（−１）n-1exp(-nt)=1/(exp(t)+1)

Ｌ（ｓ）＝　１／１s −１／３s ＋１／５s −１／７s ＋・・・

においてF(exp(-t))=1/(exp(t)+exp(-t))

　したがって，

Γ(ｓ)ζ(ｓ)=∫(0-∞)x^(s-1)/(e^x-1)dx

Γ(ｓ)ζ(ｓ)(1-2^(1-x))=∫(0-∞)x^(s-1)/(e^x+1)dx

Ｌ（ｓ）＝1/Γ(s)∫(0,∞)t^(s-1)/(exp(t)+exp(-t))dt

　関数論において，ベキ級数は基本的な役割を演じますが，メリン変換によって，ベキ級数の性質からディリクレ級数の性質を導いたり，その逆も可能になります．ゼータ関数は最も簡単かつ最も重要なディリクレ級数f(s)=Σann-sですが，メリン変換は（解析的数論における）ゼータ関数と（関数論における）保型関数（ある種の２重周期的挙動をする複素変数関数）を結ぶ装置として，数論の世界では決定的に重要な意味をもっています．

　メリン変換の特異積分式は留数定理により求めることができますが，これによって，確率変数の積，商，代数関数などの分布を得ることができます．

　一般に，積分変換解析法

　　h(s)=∫(a-b)k(s,x)f(x)dx

において，関数k(s,x)をカーネル（核関数）と呼びます．ラプラス変換のカーネルはk(s,x)=exp(-sx)，メリン変換ではk(s,x)=x^(s-1)というわけです．

　確率分布との関係でいうと，正規分布のフーリエ変換は

　　∫(-∞,∞)exp(-πx2)exp(-i2πxs)dx=exp(-πs2)

また正規分布になります（ただし，全面積が１という原則を考慮していません）．

　さらに，シンク関数とジンク関数を例として，積分変換解析法と確率分布の関係をみてみましょう．シンク関数とそれに類似のジンク関数はそれぞれ

sinc(x)=sin(πx)/(πx)

jinc(x)=J1(πx)/(2x)　　（j1は１次のベッセル関数）

で定義されます．

　どちらも，光の回折の干渉縞の強度分布を表す関数であり，シンク関数は１本スリットがつくる１次元的回折像，ジンク関数は円孔スリットがつくる２次元的回折像として応用上重要であり，

sinc0=1,sincn=0,integral(-∞,∞)sincxdx=1,integral(-∞,∞)sinc2xdx=1

integral(0,∞)sincxdx=1/2

jinc0=π/4,integral(0,∞)jincxdx=1

です．

　シンク関数は矩形分布に，平方シンク関数は三角分布にフーリエ変換されます．また，ジンク関数のアーベル変換はシンク関数であり，ハンケル変換は矩形分布となります．

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