神聖幾何学において，五角形と六角形を統合させてひとつの図形を得ることが重要課題であったという．

　デューラーは「コンパスと定規を用いた作図法」のなかで，この統合された図形を発表している．また，デューラーの謎めいた版画「メランコリア�T」は五角形と六角形の組み合わせを用いることで幾何学的比喩表現に富んだものになっているという．

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【１】Vesica Piscisを用いた近似的な内接正５角形の作図

［１］半径が等しく，その中心が互いの円周上にある４円が重なり合った共通部分の両端を点Ａ（−１，０），点Ｂ（１，０）とする．ＡＢが正５角形の１辺の長さとなる．

［２］点Ａを中心とする円を第１円，点Ｂを中心とする円を第２円とする．

［３］第１円と第３円の交点が正六角形の頂点となる．点Ｃ（−２，−√３）とする．

［４］点Ｃと第３円上の点（０，２−√３）を通る直線と第２円の交点を点Ｄとすると，点Ａ，Ｂ，Ｄが正五角形の３頂点となる．

　点Ｃ（−２，−√３），点（０，２−√３）を結ぶ直線は

　　ｙ＝ｘ＋２−√３

（ｘ−１）^2＋ｙ^2＝４に代入すると

　　ｘ^2＋（１−√３）ｘ＋２（１−√３）＝０

　　ｘ＝（√３−１＋√（６√３−４）／２＝１．９００３３

　一方，

　　２ｃｏｓ（π／１０）＝√（２√５＋１０）／２＝１．９０２１１

と近似度は高いことがわかる．

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【２】雑感

　Vesica Piscisはどうやら「魚の子宮」と訳すのが正しいらしい．Vesica Piscisを用いた正五角形の近似的作図法が知られている．コンパスと定規を用いて，正六角形と組み合わせることで，許容内の精確さの正五角形が得られるそうである．

　なお，「メランコリア�T」の梯子の角度は７２°傾いているという．４×４魔方陣は神聖な情報を記号化・暗号化したものであると考える研究者もいる．

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