（その１）ではＱ（√４６）の基本単数を求めるための近道は連分数展開であることを説明しました．（その２）ではＱ（√６）の類数を求めてみますが，ガウス和を用いるような方法では複雑すぎてとてもかないません．
位数ｐ−１の巡回群の指標には１のｐ乗根が対応して，
ζ＝ｅｘｐ（２πｉ／ｐ）
として
τ(χ）＝Σχ(x)ζ^x (x=1~p-1)
を指標χ(x)に属するガウス和と呼びます．すなわち，ガウス和はＦpに１のｐ乗根ζを添加した拡大体におけるχの１次結合です．
今回取り上げるテーマはガウス和よりも簡便に類数を計算できる「ディリクレの類数公式」なのですが，実２次体の場合，その計算には基本単数が必要となります．
Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，
ｘ^2−２ｙ^2＝±１，複号は−１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２
ｘ^2−３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３
ｘ^2−６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６
ｘ^2−７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７
また，Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，
ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２
ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２
となります．以下では，さらに必要とされる事項を簡単に述べていきたいと思います．
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【１】２次体の判別式
２次体Ｑ（√ｄ）の判別式Ｄは
ｄ=２，３（ｍｏｄ４） → Ｄ=４ｄ
ｄ=１（ｍｏｄ４） → Ｄ=ｄ
となるのですが，素数ｐがいつ素イデアルに分岐しまた完全分解するかを調べると，有理素数は次のように分解することがわかります．
［１］ｄ=２，３（ｍｏｄ４），Ｄ=４ｄ
(1)ｐ｜Ｄ → ｐ=p^2，Ｎ（p）=ｐ
(2)（ｄ／ｐ）=＋１ → ｐ=pp'，Ｎ（p）=ｐ
(3)（ｄ／ｐ）=−１ → ｐ=p，Ｎ（p）=ｐ^2
［２］ｄ=１（ｍｏｄ４），Ｄ=ｄ
(1)ｐ｜Ｄ → ｐ=p^2，Ｎ（p）=ｐ
(2)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）=＋１ → ｐ=pp'，Ｎ（p）=ｐ
(3)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）=−１ → ｐ=p，Ｎ（p）=ｐ^2
(4)ｐ=２，ｄ=１（ｍｏｄ８） → ２=pp'，Ｎ（p）=ｐ
(5)ｐ=２，ｄ=５（ｍｏｄ８） → ２=p，Ｎ（p）=２^2
ここで，（ｄ／ｐ）はルジャンドルの記号で，
（ｄ／ｐ）=＋１
はｄがｐを法とする平方剰余であることを示しています．すなわち，ｘ^2=ｄ（ｍｏｄｐ）の解の有無によって，解のあるときｄをｐの平方剰余，ないとき平方非剰余といい，
（ｄ／ｐ）=−１
と表されます．
この結果から２次体Ｑ（√ｄ）でｐが分岐するための必要十分条件は
ｐ｜Ｄ
であることがわかります．割れなければｐはＱ（√ｄ）で不分岐です．
一般に，代数体の判別式Ｄは基底の選び方には依存しない整数であり，代数体の大切な不変量の１つとなっているのですが，２次方程式が重根をもつ・もたないの判別ではなく，素数の分解・分岐など素イデアルの分解法則と密接に関係しているのです．
判別式の絶対値｜Ｄ｜が５０以下の２次体Ｑ（√ｄ）をあげてみましょう．まず，
ｄ=２，３（ｍｏｄ４） → Ｄ=４ｄ
ｄ=１（ｍｏｄ４） → Ｄ=ｄ
ですから，
ｄ＝４ｎ＋１ → ｜ｄ｜≦５０
ｄ＝４ｎ＋２，３ → ｜ｄ｜≦１２
また，ｄは０，１以外の平方因数をもたない整数でなければなりませんから，４の倍数，９の倍数，１６の倍数，２５の倍数，３６の倍数，４９の倍数を除外すると，
−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，
±１１，±１３，±１４，±１５，±１７，±１９，
±２１，±２２，±２３，±２６，±２９，±３０，
±３１，±３３，±３４，±３５，±３７，±３９，
±４１，±４３，±４６，±４７
これらのなかで，
ｄ＝４ｎ＋１ → ｜ｄ｜≦５０
ｄ＝４ｎ＋２，３ → ｜ｄ｜≦１２
という条件を満たすのは
−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，±１１，
１３，１７，２１，２９，３３，３７，４１，
−１５，−１９，−２３，−３１，−３５，−３９，−４３，−４７
になります．
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【２】平方剰余の相互法則
（ａ／ｐ）=＋１ ←→ ａがｐを法とする平方剰余
（ｘ^2=ａ ｍｏｄｐなる整数ｘが存在するとき）
（ａ／ｐ）=−１ ←→ 平方非剰余（そうでないとき）
と定義します．
たとえば，整数ａに対して，
ｘ^2=ａ ｍｏｄｐ
となる整数ｘが存在するかどうかを考えると
Ｚ／ｐＺ=Ｆp=｛０，１，・・・，ｐ−１｝
について代入してみればいいわけで，ｐ=５の場合，
０^2=０，１^2=１，２^2=４，３^2=９=４，４^2=１６=１
ですから，ａ=１，４（ｍｏｄ５）のときは平方剰余，ａ=２，３（ｍｏｄ５）のときは平方非剰余，すなわち，
（１／５）=（４／５）=１，（２／５）=（３／５）=−１
となります．
（ａ／ｐ）=ａ^{(p-1)/2} (mod p) （オイラー規準）
（−１／ｐ）=（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２ （第１補充法則）
（２／ｐ）=（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２ （第２補充法則）
すなわち，オイラー規準において，（−１／ｐ）に関するものが第１補充法則，（２／ｐ）に関するものが第２補充法則と呼ばれます．
クロネッカーの指標やディリクレの指標はルジャンドル記号の計算に還元されるのですが，オイラー規準は法ｐに関するａ^{(p-1)/2}の剰余を求めなければならないため，ｐが大きいとき（ａ／ｐ）を決定するのはかなり大変です．それに対して，
（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）=（−１）^{(p-1)/2}{(ｑ-1)/2}
が有名なガウスの平方剰余の相互法則です．
前述のように（ｐ／５）は簡単に計算されますが，その際，（５／ｐ）すなわちｘ^2=５（ｍｏｄｐ）なる整数ｘがあるかどうかについてもわかるというのが平方剰余の相互法則なのです．（ａ／ｐ）はガウスの相互法則を用いてすばやく計算することができます．
このような計算により，次の表が得られます．
完全分解（＋１） ２次体でも素（−１） 分岐（０）
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Ｑ（√−１） p=1(mod4) p=3(mod4) p=2
Ｑ（√−２） p=1,3(mod8) p=5,7(mod8) p=2
Ｑ（√２） p=1,7(mod8) p=3,5(mod8) p=2
Ｑ（√−３） p=1(mod3) p=2(mod3) p=2
Ｑ（√３） p=1,11(mod12) p=5,7(mod12) p=2,3
Ｑ（√５） p=1,4(mod5) p=2,3(mod5) p=5
Ｑ（√−５） p=1,3,7,9(mod20) p=11,13,17,19(mod20) p=2,5
Ｑ（√６） p=1,5,13,19(mod24) p=7,11,17,23(mod24) p=2,3
Ｑ（√−６） p=1,5,7,11(mod24) p=13,17,19,23(mod24) p=2,3
Ｑ（√−１５） p=1,2,4,8(mod15) p=7,11,13,14(mod24) p=3,5
Ｑ（√−２３） p=1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18(mod23) p=23
p=5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22(mod23)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
この表は，たとえばＱ（√３）においてp=1,11(mod12)なる素数は２個の数のの積に分解
１１=（２√３＋１）（２√３−１）
１３=（４＋√３）（４−√３）
することを示しています．
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【３】ディリクレの類数公式
Ｑ（√ｍ）の判別式をＤ，χ＝（Ｄ／ａ）をディリクレ指標とするとき，類数ｈは次のように与えられます．
［１］ｍ＜０のとき（虚２次体）
ｈ＝−ω／２｜Ｄ｜Σχ(a)a
ここで，ωは単数の個数で
ｍ＝−３のとき，ω＝６（±１，±ω，±ω^2）
ｍ=−１のとき，ω＝４（±１，±ｉ）
それ以外のとき，ω＝２（±１）
となります．
以下，虚２次体類数の計算例を掲げます．
(1)Ｑ（√−１）：ｈ＝１
Ｄ＝−４，ω＝４，
χ(a) ＝（−４／ａ）＝＋１ ａ＝１
＝−１ ａ＝３
ｈ＝−４／２｜−４｜（１・１＋（−１）・３）＝１
(2)Ｑ（√−２）：ｈ＝１
Ｄ＝−８，ω＝２，
χ(a) ＝（−８／ａ）＝＋１ ａ＝１，３
＝−１ ａ＝３，７
ｈ＝−２／２｜−８｜（１・１＋１・３＋（−１）・５＋（−１）・７）＝１
(3)Ｑ（√−３）：ｈ＝１
Ｄ＝−３，ω＝６，
χ(a) ＝（−３／ａ）＝＋１ ａ＝１
＝−１ ａ＝２
ｈ＝−６／２｜−３｜（１・１＋（−１）・２）＝１
(4)Ｑ（√−５）：ｈ＝２
Ｄ＝−２０，ω＝２，
χ(a) ＝（−２０／ａ）＝＋１ ａ＝１，３，７，９
＝−１ ａ＝１１，１３，１７，１９
ｈ＝−２／２｜−２０｜（１・１＋１・３＋１・７＋１・９＋（−１）・１１＋（−１）・１３＋（−１）・１７＋（−１）・１９）＝２
［２］ｍ＞０のとき（実２次体）
ｈ＝−１／２ｌｏｇεΣχ(a)ｌｏｇｓｉｎ（aπ／Ｄ）
εを基本単数（ε＞１）とする
(1)Ｑ（√２）：ｈ＝１
Ｄ＝８，ε＝１＋√２，
χ(a) ＝（８／ａ）＝＋１ ａ＝１，７
−１ ａ＝３，５
ｈ＝−１／２ｌｏｇ（１＋√２）（１・ｌｏｇｓｉｎ（π／８）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（３π／８）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（５π／８）＋１・ｌｏｇｓｉｎ（７π／８））＝１
(2)Ｑ（√３）：ｈ＝１
Ｄ＝１２，ε＝２＋√３，
χ(a) ＝（１２／ａ）＝＋１ ａ＝１，１１
＝−１ ａ＝５，７
ｈ＝−１／２ｌｏｇ（２＋√３）（１・ｌｏｇｓｉｎ（π／１２）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（５π／１２）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（７π／１２）＋１・ｌｏｇｓｉｎ（１１π／１２））＝１
(3)Ｑ（√５）：ｈ＝１
Ｄ＝５，ε＝（１＋√５）／２，
χ(a) ＝（５／ａ）＝＋１ ａ＝１，４
−１ ａ＝２，３
ｈ＝−１／２ｌｏｇ（（１＋√５）／２）（１・ｌｏｇｓｉｎ（π／５）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（２π／５）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（３π／５）＋１・ｌｏｇｓｉｎ（４π／５））＝１
（∵２ｃｏｓ（π／５）＝（１＋√５）／２）
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
実２次体の類数公式はログサイン和とも呼ぶべきものですが，それにしても虚２次体の類数公式とはずいぶん違ってみえます．また，ゼータ関数に関連してこれまでいくつかのログサインがでてきましたが，ここでまとめておきたいと思います．→コラム「奇数ゼータと杉岡の公式」，「ゼータとポリログ関数」参照
log(sinπx/πx)=-2Σζ(2n)/2n･x^(2n)
log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2
∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2
ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx
∫(0,π/3){log(2sin(θ/2))}^2dθ=17π^3/108
∫(0,π/3)θ(log(2sin(θ/2)))^2dθ=17π^4/6480
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【４】Ｑ（√６）の類数は？
Q(√6)の基本単数は5+2√(6)，判別式24，また，
(24/n)=+1となるのはn=1,5,19,23(mod24)
(24/n)=-1となるのはn=7,11,13,17(mod24)
ここで実2次体の類数公式を用います．
h=-1/2log(5+2√6){logsin(1/24π)+logsin(5/24π)-logsin(7/24π)-logsin(11/24π)-logsin(13/24π)-logsin(17/24π)+logsin(19/24π)-logsin(23/24π)}
{logsin(1/24π)+logsin(5/24π)-logsin(7/24π)-logsin(11/24π)-logsin(13/24π)-logsin(17/24π)+logsin(19/24π)-logsin(23/24π)}=2log(5-2√6)
より
h=-2log(5+2√6)/2log(5+2√6)=1
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ついでにＱ（√−６）の類数を求めてみると
Q(√-6)の判別式-24，ω＝２．
(-24/n)=+1となるのはn=1,5,7,11(mod24)
(-24/n)=-1となるのはn=13,17,17,23(mod24)
h=-2/2|-24|(1+5+7+11-13-17-19-23)=2
こうしてＱ（√−６）は類数２の虚２次体であることがわかりました．ｈ=１なる虚２次体Ｑ（√ｄ）は
−ｄ=１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３
しかないというのが，有名な「ベイカー・スタークの定理」です．１９６６年，ベイカーとスタークは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したのです．
類数１をもつというのは，Ｑ（√ｄ）のすべてのイデアルが単項であること，すなわち，２次体Ｋのすべての代数的整数が，Ｋの素数の積として表され，その表現が単数（１の約数となる整数）を無視して，一意であることをいいます．
別の言葉でいうと，イデアルと数のずれがないということですが，類数とはすべての数体に付随した不変量（自然数）であって，たとえば，有理数体Ｑは類数１をもち，ガウスの数体Ｑ（ｉ）も類数１をもちます．類数１をもつ数体はＱと類似した数論的性質をもつのですが，大きな類数をもつ数体はＱとかなりかけ離れた性質をもっているというわけです．
ついでながら，ｈ=２なる虚２次体Ｑ（√ｄ）は，
−ｄ=５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７
の１８個あります．
類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）は有限個しかないのに対して，類数１をもつ実２次体は無限に多く存在すると予想されています．
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【５】おまけ
［１］ディリクレのＬ関数
Ｌ(s,χ)＝Σχ(n)／ｎ^s
はディリクレのＬ関数，χ(n)はディリクレの指標と呼ばれます．
ディリクレのＬ関数Ｌ（ｓ，χ）はｓ＞１で収束します．また，
Ｌ（ｓ，χ）＝Σχ(n)／ｎ^s＝Π（１−χ(ｐ)ｐ^(-s)）^(-1)
という積表示をもちます．ｐはｍｏｄｍのｍを割り切らないすべての素数をわたります．この積表示はオイラー積の一般化となっています．
すなわち，ディリクレのＬ関数はリーマンのゼータ関数を一般化したものになっていて，たとえば，数列｛χ(n)｝を｛χ(n)｝＝｛１，１，１，１，・・・｝とすると，
１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６
１／１^4＋１／２^4＋１／３^4＋１／４^4＋・・・＝π^4／９０
は，それぞれＬ(2,χ)＝π^2／６，Ｌ(4,χ)＝π^4／９０という公式です．
また，｛χ(n)｝＝｛１，−１，１，−１，・・・｝では，Ｌ(1,χ)＝ｌｏｇ２，すなわち，
１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２
χ(0 mod 4)=0,χ(1 mod 4)=1,χ(2 mod 4)=0,χ(3 mod 4)=-1についてのディリクレのＬ関数
１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−・・・＝π／４
１／１^3−１／３^3＋１／５^3−１／７^3＋・・・＝π^3／３２
はＬ(1,χ)=π／４，Ｌ(3,χ)=π^3／３２
ちょっと複雑なものとしては
１／１−１／２＋１／４−１／５＋１／７−１／８＋（正負は３ごとに繰り返す）・・・＝π／３√３
はｍｏｄ３で，χ(0 mod 3)=0,χ(1 mod 3)=1,χ(2 mod 3)=-1についてのディリクレのＬ関数．
１／１−１／３−１／５＋１／７＋１／９−１／１１−１／１３＋１／１５＋（正負は８ごとに繰り返す）・・・＝１／√２ｌｏｇ（１＋√２）
はｍｏｄ８について，χ(0 mod 8)=0,χ(1 mod 8)=1,χ(2 mod 8)=0,χ(3 mod 8)=-1,χ(4 mod 8)=0,χ(5 mod 8)=1,χ(6 mod 8)=0,χ(7 mod 8)=-1のディリクレのＬ関数と総称される一群の関数の値についての公式なのです．
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［２］２次体とディリクレ指標
ところで，
χ(0 mod 8)=0,χ(1 mod 8)=1,χ(2 mod 8)=0,χ(3 mod 8)=-1,
χ(4 mod 8)=0,χ(5 mod 8)=1,χ(6 mod 8)=0,χ(7 mod 8)=-1
の右辺（０，１，−１）と左辺のｍｏｄ８は何を意味しているのでしょうか？
ここまでくればもうおわかりでしょうが（０，１，−１）はディリクレ指標です．ディリクレ指標は素数ｐを与えれば確定する指標で，ルジャンドル記号の計算に還元されます．たとえば，χ(ｐ)＝（３／ｐ）の場合，ガウスの平方剰余の相互法則において，ｑ＝３とおくと
（３／ｐ）（ｐ／３）＝（−１）^{(p-1)/2}
（ｐ／３）は簡単に計算できて
ｐ＝＋１（ｍｏｄ３）のとき１，
ｐ＝−１（ｍｏｄ３）のとき−１
一方，（−１）^{(p-1)/2}は
ｐ＝＋１（ｍｏｄ４）のとき１，
ｐ＝−１（ｍｏｄ４）のとき−１
ですから，まとめると
ｐ＝１または１１（ｍｏｄ１２）→ １
ｐ＝５または７（ｍｏｄ１２） → −１
それ以外のとき → ０
となることが理解されます．
すなわち，２次体Ｑ（√３）に対応するディリクレ指標が
ｐ＝１または１１（ｍｏｄ１２）→ １
ｐ＝５または７（ｍｏｄ１２） → −１
それ以外のとき → ０
であり，また，対応するディリクレのＬ関数が
Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s−１／５^s−１／７^s＋１／１１^s＋・・・
であるというわけです．
ディリクレのＬ関数と２次体の関係についてまとめておくと，
１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・→Ｑ（√−１）
１／１^s−１／３^s−１／５^s＋１／７^s＋・・・→Ｑ（√２）
１／１^s＋１／３^s−１／５^s−１／７^s＋・・・→Ｑ（√−２）
１／１^s−１／２^s＋１／４^s−１／５^s＋１／７^s−１／８^s＋・・・→Ｑ（√−３）
１／１^s−１／５^s−１／７^s＋１／１１^s＋１／１５^s−１／１９^s＋・・・→Ｑ（√３）
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また，虚２次体では
Ｌ(1,χ)＝Σχ(n)／ｎ＝２πｈ／ω√Ｎ
ここで，ｈは類数，Ｎは導手，ωは単数の個数で
ｄ＝−３のとき，ω＝６（±１，±ω，±ω^2）
ｄ＝−１のとき，ω＝４（±１，±ｉ）
それ以外のとき，ω＝２（±１）
２次体Ｑ（√ｄ）の導手Ｎは
ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき，Ｎ＝｜ｄ｜
ｄ＝３（ｍｏｄ４）のとき，Ｎ＝４｜ｄ｜
実２次体では
Ｌ(1,χ)＝２ｌｏｇεｈ／√ｄ （εは基本単数）
という形の類数公式も知られています（ディリクレ）．
Ｑ（√−１）の場合は，Ｎ＝４，ω＝４ですから
Ｌ（１，χ）＝πｈ／４
また，グレゴリー・ライプニッツ級数
１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・＝π／４
よりｈ＝１であること，すなわち，Ｚ（ｉ）が一意分解整域であることを意味しています．
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