正八面体の１２本の辺を黄金比に分割して，各面に正三角形ができるようにする．このとき，これらの分割点は正２０面体の１２個の頂点になることはよく知られている．

　それでは，

［Ｑ］正八面体の辺の中点を繋いでできる多面体は？

［Ａ］立方八面体（６・８面体）

［Ｑ］正２０面体の辺の中点を繋いでできる多面体は？

［Ａ］１２・２０面体

［Ｑ］正四面体の辺の中点を繋いでできる多面体は？

［Ａ］正八面体

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　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

　　λ＝ＣＤ／ＤＢ＝ＡＥ／ＥＣ＝ＳＦ／ＦＡ

［Ｑ］正四面体の各面に各辺を１：黄金比に順次内分した正三角形を作る．それらを繋いでできる多面体は？

［Ａ］正２０面体

［Ｑ］正八面体の各面に各辺を１：１．８３９に順次内分した正三角形を作る．それらを繋いでできる多面体は？

［Ａ］ねじれ立方体

［Ｑ］正２０面体の各面に各辺を１：１．９４３に順次内分した正三角形を作る．それらを繋いでできる多面体は？

［Ａ］ねじれ１２面体

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［１］正二十面体（３，３，３，３，３）は，正四面体の縮小三角形（λ＝１．６１８，黄金比）から生成される（ねじれ角：２２．２３８°）．

［２］ねじれ立方体（３，３，３，３，４）は，正八面体の縮小三角形（λ＝１．８３９）から生成される（ねじれ角：２０．３１５°）．

［３］ねじれ十二面体（３，３，３，３，５）は，正二十面体の縮小三角形（λ＝１．９４３）から生成される（ねじれ角：１９．５１７°）．

　それそれ（３，３，３，３，ｑ）とすると，λは

　　λ^3−　λ^2−λ−１−２ｃｏｓ（２π／ｑ）＝０

の根として計算できる．

［１］ｑ＝３　→　λ^2−λ−１＝０

［２］ｑ＝４　→　λ^3−λ^2−λ−１＝０

［３］ｑ＝５　→　λ^3−λ^2−λ−φ＝０

　ねじれ角は

　　ｔａｎθ＝√３／（１＋２λ）

で与えられる．

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