有理数体Ｑに，ｘ^2−ｄ＝０の根√ｄを添加して得られる体Ｑ（√ｄ）を考えます．すると０，１以外の平方因数をもたない整数ｄ，すなわち，
−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・
によって，Ｑ（√ｄ）は体になり，２次体Ｑ（√ｄ）の元は一意的に
Ｑ（√ｄ）＝｛ａ＋ｂ√ｄ｜ａ，ｂは有理数｝
の形で表されます．
ｄ＞０のとき実２次体，ｄ＜０のとき虚２次体と呼ばれますが，とくにｄ＝−１のとき
Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）
はガウスの数体となります．
２次体Ｑ（√ｄ）には，各素数ｐに対して（０，１，−１）を値にもつクロネッカーの指標χ（ｐ）があり，
χ（ｐ）＝０ （分岐）
＝＋１ （完全分解）
＝−１ （ｐは２次体でも素）
と定義されます．
具体的には，Ｄを判別式として
ｐ｜Ｄ → χ（ｐ）＝０
ｐ≠２ → χ（ｐ）＝（Ｄ／ｐ）
ｐ＝２ → χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}
のように計算されるのですが，
ｐ＝２ → χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}
はｄ＝１（ｍｏｄ４）のときのみに起って，右辺は第２補充法則によっています．
たとえば，Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）の世界では，
χ（５）＝（−１／５）＝１ （第１補充法則）
より，素数５は２つの相異なる素イデアルの積となり
５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）
と分解されるというわけです．
今回のコラムでは
Ｑ（√４６）の基本単数は？
の計算手順をみていきますが，そのことを踏まえて次回のコラムでは
Ｑ（√６）の類数は？
という問題を解いてみることにしたいと思います．
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【１】実２次体の基本単数
Ｑ（√ｍ）を２次体とするとき，ａ＋ｂ√ｍの共役をａ−ｂ√ｍで表します（ｍ＜０ならば通常の複素共役である）．このとき，その標準底は
ω＝√ｍ ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）
ω＝（１＋√ｍ）／２ ｍ＝１（ｍｏｄ４）
で与えられます．
そして，単位元「１」の約数を単数といいます．ｍ＞０のとき，単数群は
｛±１｝×Ｃ（Ｃは乗法的巡回群）
によって与えられます．また，εをε＞１なる最小の単数とするとき，
Ｃ＝｛±ε^n｝
と表すことができ，εをＱ（√ｍ）の基本単数といいます．
このようなεのとり方は４通りあるのですが，その中でε＞１なるものは１通りですから，実２次体の基本単数は一意に定まります．Ｑ（√ｍ）を実２次体とすると，
［ａ］ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき
基本単数を
ε＝ａ＋ｂ√ｍ
とすると
ε~＝ａ−ｂ√ｍ
εが単数←→εε~＝ａ^2−ｍｂ^2＝±１
また，
ε^n＝ａn＋ｂn√ｍ
と書くと
ε^(n+1)＝ε・ε^n＝（ａ＋ｂ√ｍ）（ａn＋ｂn√ｍ）
＝ａａn＋ｂｂnｍ＋（ａｂn＋ｂａn）√ｍ
これより
ａn+1＝ａａn＋ｂｂnｍ
ｂn+1＝ａｂn＋ｂａn
このことから０＜ａ1＜ａ2＜・・・，０＜ｂ1＜ｂ2＜・・・となるのですが，より，ａ，ｂはペル方程式：
ａ^2−ｍｂ^2＝±１
の解の中で（ａ，ｂ）が最小なものとして与えられます．ペル方程式の自明な解（ａ＝±１，ｂ＝０）には単数±１が，自明でない解のなかで絶対値｜ａ｜または｜ｂ｜が最小なものには基本単数が対応するというわけです．
Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，
ｘ^2−２ｙ^2＝±１，複号は−１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２
ｘ^2−３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３
ｘ^2−６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６
ｘ^2−７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７
［ｂ］ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき
基本単数を
ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２ ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）
と書けば
ａ^2−ｍｂ^2＝±４
となること以外は前と同様です．
Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，
ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２
ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２
なお，実２次体の基本単数は一意に決まるのに対して，虚２次体では
ａ^2＋ｍｂ^2＝±１ → （ａ，ｂ）＝（±１，０）
ですから，単数基準自身が消えてしまいます．→［補］
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Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は
（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２
とおいて
ｎ＝１：１^2−２・１^2＝−１
ｎ＝２：３^2−２・２^2＝＋１
ｎ＝３：７^2−２・５^2＝−１
ｎ＝４：１７^2−２・１２^2＝＋１
ｎ＝５：４１^2−２・２９^2＝−１
ｎ＝６：９９^2−２・７０^2＝＋１
ｎ＝７：２３９^2−２・１６９^2＝−１
ｎ＝８：５７７^2−２・４０８^2＝＋１
ｎ＝９：１３９３^2−２・９８５^2＝−１
ｎ＝10：３３６３^2−２・２３７８^2＝＋１
一般に，
ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n
となります．
Ｑ（√３）ではε＝２＋√３が基本単数で，
ｎ＝１：２^2−３・１^2＝＋１
ｎ＝２：７^2−３・４^2＝＋１
ｎ＝３：２６^2−３・１５^2＝＋１
ｎ＝４：９７^2−３・５６^2＝＋１
ｎ＝５：３６２^2−３・２０９^2＝＋１
ｎ＝６：１３５１^2−３・７８０^2＝＋１
ｎ＝７：５０４２^2−３・２９１１^2＝＋１
ｎ＝８：１８８１７^2−３・１０８６４^2＝＋１
ｎ＝９：７０２２６^2−３・４０５４５^2＝＋１
ｎ＝10：２６２０８７^2−３・１５１３１６^2＝＋１
一般に，ａn^2−２ｂn^2＝１でａn^2−２ｂn^2＝−１となる解は存在しません．
この２つの例からわかるように，基本単数εのノルムが−１のときには
ｘ^2−ｍｙ^2＝＋１
と
ｘ^2−ｍｙ^2＝−１
はどちらも無数の解をもちますが，εのノルムが＋１のときには解はすべて前者の解であって，後者は解をもちません．
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以下，実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数εを掲げますが
ｍ ペル方程式の最小解 ε ノルム
２ １^2−２・１^2＝−１ １＋√２ −１
３ ２^2−３・１^2＝＋１ ２＋√３ ＋１
５ １^2−５・１^2＝−４ （１＋√５）／２ −１
６ ５^2−６・２^2＝＋１ ５＋２√６ ＋１
７ ８^2−７・３^2＝＋１ ８＋３√７ ＋１
10 ３^2−１０・１^2＝−１ ３＋√１０ −１
11 １０^2−１１・３^2＝＋１ １０＋３√１１ ＋１
13 ３^2−１３・１^2＝−４ （３＋√１３）／２ −１
14 １５^2−１５・４^2＝＋１ １５＋４√１４ ＋１
15 ４^2−１５・１^2＝＋１ ４＋√１５ ＋１
17 ８^2−１７・２^2＝−４ ４＋√１７ −１
19 １７０^2−１９・３９^2＝＋１ １７０＋３９√１９ ＋１
21 ５^2−２１・１^2＝＋４ （５＋√１７）／２ ＋１
22 １９７^2−２２・４２^2＝＋１ １９７＋４２√２２ ＋１
23 ２４^2−２３・５^2＝＋１ ２４＋５√２３ ＋１
26 ５^2−２６・１^2＝−１ ５＋√２６ −１
29 ５^2−２９・１^2＝−４ （５＋√２９）／２ −１
30 １１^2−３０・２^2＝＋１ １１＋２√３０ ＋１
31 １５２０^2−３１・２７３^2＝＋１ １５２０＋２７３√３１ ＋１
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【２】連分数とペル方程式の解法
ｍが小さいときは実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数ε比較的簡単に求まりましたが，ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．Ｑ（√１９９）を考えてみると，１９９＝３（ｍｏｄ４）の素数ですが，
ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１
の最小解は
（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）
にもなってしまいます．
この解を求めるには√１９９の連分数展開
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．
標準連分数では，
α＝［ｑ1，・・・，ｑn］＝Ｐn／Ｑn
Ｐ0＝１，Ｐ1＝ｑ1，Ｐn＝ｑnＰn-1＋Ｐn-2
Ｑ0＝０，Ｑ1＝１ ，Ｑn＝ｑnＱn-1＋Ｑn-2 (n=2,3,･･･)
で
ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n (n=1,2,･･･)
ＰnＱn-2−Ｐn-2Ｑn＝（−１）^n-1ｑn (n=2,3,･･･)
が成り立ちます．
また，
α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，ｑn，ｑn+1，・・・］
の部分列［ｑn，ｑn+1，・・・］に対して
αn＝［ｑn，ｑn+1，・・・］
なる実数αnを定めると
α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，αn］
＝（αnＰn-1＋Ｐn-2）／（αnＱn-1＋Ｑn-2）
が証明されます．
これに循環連分数になるという性質が加わって，ペル方程式の解が得られるのですが，
√ｍ＝［ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn，２ｑ1］ （周期ｎ）
αn+1＝［２ｑ1，ｑ2，・・・］＝√ｍ＋ｑ1
より
√ｍ＝（（√ｍ＋ｑ1）Ｐn＋Ｐn-1）／（（√ｍ＋ｑ1）Ｑn＋Ｑn-1）
ここで，
ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n (n=1,2,･･･)
より，
Ｐn^2−ｍＱn^2＝（−１）^n
となり，ペル方程式の解（Ｐn，Ｑn）が得られます．
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
では，ｑ1＝１４，ｑ2＝９，ｑ3＝２，・・・，ｎ＝２０ですから
Ｐ Ｑ
０ 1 0
１ 14 1
２ 127 9
３ 268 19
４ 396 28
５ 1058 75
６ 2511 178
７ 13613 965
８ 56963 4038
９ 70576 5003
10 127593 9041
11 1728583 122536
12 1856122 131577
13 3584705 254113
14 16194942 1148029
15 84559415 5994258
16 185313772 13136545
17 455186959 32267348
18 640500731 45403893
19 1736188421 123075134
20 16266196520 1153080099
となって，
（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）
が得られました．
ペル方程式は√ｍの連分数展開を用いると非常に簡単に求められるのですが，最小解がｍと較べて非常に大きい例としては
ｍ ε ノルム
46 ２４３３５＋３５８８√４６ ＋１
94 ２１４３２９５＋２２１０６４√９４ ＋１
151 １７２８１４８０４０＋１４０６３４６９３√１５１ ＋１
193 １７６４１３２＋１２６９８５√１９３ −１
409 １１１９２１７９６９６８＋５５３４１７６６８５√４０９ −１
526 ８４０５６０９１５４６９５２９３３７７５＋３６６５０１９７５７３２４２９５５３２√５２６ ＋１
などが知られているようです．
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【３】Ｑ（√４６）の単数は？
ｍを平方数でない自然数とすると，いわゆるペル方程式とは
ｘ^2−ｍｙ^2＝±１
で表されるものです．
Ｑ（√４６）の基本単数は？という問題では，ペル方程式
ｘ^2−４６ｙ^2＝±１
を解くことになるのですが，ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．
解を求めようと思ってもなかなか見つかないのですが，それもそのはずでこの最小解は
（２４３３５，３５８８）
のようにとても大きなものになってしまいます．これではいくら式を眺めたところでわからないのは無理もありません．
Ｑ（√４６）の基本単数は？の答えが
ε＝２４３３５＋３５８８√４６
となるという結論を先に述べてしまいましたが，このように大きな値になることで悪名高き問題なのですから・・・．
この解を合理的に出すには，後述するように√４６の連分数展開
√４６＝［６；１，３，１，１，２，６，２，１，１，３，１，１２，・・・］
を用います．１〜１２は循環節（周期１２）です．
ところで，√46の連分数展開では小数部分を１／αとおいて計算を繰り返します．
√46=6+1/α,ｑ1=6
α=1/(√46-6)=(√46+6)/10=1+1/α,ｑ2=1
α=10/(√46-4)=(√46+4)/3=3+1/α,ｑ3=3
α=3/(√46-5)=(√46+5)/7=1+1/α,ｑ4=1
α=7/(√46-2)=(√46+2)/6=3+1/α,ｑ5=1
α=6/(√46-4)=(√46+5)/5=2+1/α,ｑ6=2
α=5/(√46-6)=(√46+6)/2=6+1/α,ｑ7=6
α=2/(√46-6)=(√46+6)/5=2+1/α,ｑ8=2
α=5/(√46-4)=(√46+4)/6=1+1/α,ｑ9=1
α=6/(√46-2)=(√46+2)/7=1+1/α,ｑ10=1
α=7/(√46-5)=(√46+5)/3=3+1/α,ｑ11=3
α=3/(√46-4)=(√46+4)/10=1+1/α,ｑ12=1
α=10/(√46-6)=(√46+6)=12+1/α,ｑ13=12
これ以降は
α=1/(√46-6)=(√46+6)/10=1+1/α,ｑ14=1=ｑ2
α=10/(√46-4)=(√46+4)/3=3+1/α,ｑ15=3=ｑ3
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
のように循環します．
√４６＝［６；１，３，１，１，２，６，２，１，１，３，１，１２，・・・］
となることがわかりました，次にｑ2=1〜ｑ12=1を漸化式
P(i)=ｑiP(i-1)+P(i-2)
P(0)=1，P(1)=ｑ1=6
に代入してP(12)を求めます．
P(2)=P(1)*1+P(0)=7
P(3)=P(2)*3+P(1)=27
P(4)=P(3)*1+P(2)=34
P(5)=P(4)*1+P(3)=61
P(6)=P(5)*2+P(4)=156
P(7)=P(6)*6+P(5)=997
P(8)=P(7)*2+P(6)=2150
P(9)=P(8)*1+P(7)=3147
P(10)=P(9)*1+P(8)=5297
P(11)=P(10)*3+P(9)=19038
P(12)=P(11)*1+P(10)=24335
さらに，漸化式
Q(i)=ｑiQ(i-1)+Q(i-2)
Q(0)=0，Q(1)=1
によりQ(12)を求めると
Q(2)=Q(1)*1+Q(0)=1
Q(3)=Q(2)*3+Q(1)=4
Q(4)=Q(3)*1+Q(2)=5
Q(5)=Q(4)*1+Q(3)=9
Q(6)=Q(5)*2+Q(4)=23
Q(7)=Q(6)*6+Q(5)=147
Q(8)=Q(7)*2+Q(6)=317
Q(9)=Q(8)*1+Q(7)=464
Q(10)=Q(9)*1+Q(8)=781
Q(11)=Q(10)*3+Q(9)=2807
Q(12)=Q(11)*1+Q(10)=3588
以上の計算によって，基本単数
ε＝２４３３５＋３５８８√４６
が求められました．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】おまけ
連分数展開によって
（１＋√５）／２=［１；１，１，１，１，１，・・・］
√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］
のように，１や２が無限に繰り返されるという規則性を見ることができます．
√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］
では交互に１，２が現れる循環連分数となります．以下，
√５＝［２；４，４，４，・・・］
√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］
√７＝［２；１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］
一般に，√ｍの連分数展開は循環連分数となり周期性が証明されます．これは既約分数の小数展開が循環小数になることと対比するとおもしろい事実です．
その際，
√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn-1，２ｑ0，・・・］
という周期ｎの連分数展開が得られます．
√２＝［１；２，・・・］
√３＝［１；１，２，・・・］
√５＝［２；４，・・・］
√６＝［２；２，４，・・・］
√７＝［２；１，１，１，４，・・・］
すなわち，どの循環節もｑn＝２ｑ0＝［２√ｍ］で終わっています．
たとえば，√１９９の展開
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
をみると，１４で始まり２８で終わるというのもこの理由によります．
このように，標準無限連分数のうち，部分分母列のあるところから先が巡回的になる循環連分数は２次の無理数（整数係数の２次方程式の解として表される数）に収束します．この性質により，整数項の標準連分数はいわゆるペル方程式：ｘ^2−ｍｙ^2=ｄ（多くは±１，±４）の解法など整数論の分野で活用されます．
また，√１９９の循環節の最後の２８を除くと１３を中心として対称になっていることにも気付かされます．
√４３＝［６；１，１，３，１，５，１，３，１，１，１２，・・・］
√５４＝［７；２，１，６，１，２，１４，・・・］
√７６＝［８；１，２，１，１，５，４，５，１，１，２，１，１６，・・・］
√９４＝［９；１，２，３，１，１，５，１，８，１，５，１，１，３，２，１，１８，・・・］
√１０００＝［３１；１，１，１，１，１，６，２，２，１５，２，２，６，１，１，１，１，１，６２，・・・］
循環部の最後の項を除いた部分は回文（前から読んでも後から読んでも同じ）になっているという事実も，１９９のみならず，２次の無理数√ｍに共通していえる性質です．
√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・，ｑ2，ｑ1，２ｑ0，・・・］
なお，２次の無理数には循環連分数が対応しますが，連分数による実数の最良近似は解を下方と上方から近似していく方法であって，ユークリッドの互除法に直結しています．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
以上のことから，最も素朴な循環連分数は
√ｍ=［ｑ0；２ｑ0，２ｑ0，２ｑ0，・・・］
で表されるものと考えられます．
このとき，
Ｐ＝２ｑ0^2＋１，Ｑ＝２ｑ0
より，ｍは
（２ｑ0^2＋１）^2−ｍ・４ｑ0^2＝±１
を満たす整数となるのですが，結局，このようなｍは
ｍ＝ｑ0^2＋１＝２，５，１０，・・・
となることが導き出されます．
√２＝［１；２，２，２，・・・］
√５＝［２；４，４，４，・・・］
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
［補］虚２次体Ｑ（√ｄ）の単数
ｄ＜０のとき，
ｄ=−１ → ４個の単数
ｄ=−３ → ６個の単数
なのですが，
ｄ≠−１，−３ → ２個の単数｛±１｝
となります．
すなわち，Ｑ（√ｄ）の場合，
(1)ｄ＞０ならば｛±ε^n｝（無限群）
(2)ｄ＜０のとき
α)ｄ=−１ならば｛±１，±ｉ｝
b)ｄ=−３ならば｛±１，±ρ，±ρ^2｝
c)ｄ≠−１，−３ならば｛±１｝
（証明）
(1)ｄ＞０ならばα^n=１なるαは±１しかない．
(2)ｄ＜０のとき
α^2−（α＋α~）α＋αα~=０
という関係を満足し，｜α｜=１だから，ｘ^2＋ｂｘ＋１=０（ｂは整数）の根
α=（−ｂ＋√（ｂ^2−４））／２
になる．
ｂ^2=４はα=±１を与えるからｂ^2≠４とする．また，ｂ^2−４=ｃ^2と平方数になる場合は（ｂ＋ｃ）（ｂ−ｃ）=４より，
ｂ＋ｃ=４，ｂ−ｃ=１
これは明らかに不可能．したがって，ｄ＜０よりｂ^2−４＜０でなければならない．
よって，ｂ=０またはｂ=１またはｂ=−１の可能性がある．
ｂ=０→｛±ｉ｝
ｂ=１→｛±ρ｝
ｂ=−１→｛±ρ^2｝
なお，円分体
Ｑ（ζ），ζ=ｅｘｐ(2πi/d)
の単数は
｛±１，±ζ，±ζ^2，・・・，±ζ^(d-1)｝
の２ｄ個の元からなります．
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