合同な菱形だけでできている多面体について考えます．平行六面体となる菱面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれています．

　黄金菱形六面体の場合，acute（扁長菱面体）はＡ6，obtuse（扁平菱面体）はＯ6と略記されます．

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【１】黄金菱形六面体の体積

　Ａ6（acute）の体積から確認しておきましょう．菱形の対角線の長さを２ｄと２，また，この菱形の鋭角が６０°より大きく９０°より小さいとすると，ｄの取りうる値は

　　１＜ｄ＜√３

の範囲にあります．

　また，菱形の鋭角が３つ集まって構成される頂点を原点として，この菱面格子の３つの基本ベクトルを

　　ａ↑＝（ｄ，１，０）

　　ｂ↑＝（ｄ，−１，０）

　　ｃ↑＝（ｘ，０，ｚ），ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１

とおきます．

　このとき，菱形の面積，体積は

　　Ｓ＝２ｄ，Ｖ＝２ｄｚ

菱形の鋭角をθとおくと

　　ｔａｎ（θ／２）＝１／ｄ　→　θ＝２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ）

で表されます（６０°＜θ＜９０°）．

　次に，ｘとｚをｄで表してみることにしましょう．

　　ａ↑・ｃ↑＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓθ＝ｄｘ

より

　　ｘ＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓθ

　　　＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓ（２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ））

　　　＝（ｄ^2−１）／ｄ

　　ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３−１／ｄ^2

　ベクトルｃ↑とｘ軸のなす角φは

　　ｃｏｓφ＝ｘ／（ｄ^2＋１）^(1/2)＝（ｄ^2−１）／ｄ（ｄ^2＋１）^(1/2)

で求められますが，このように菱形六面体の計量値はすべてパラメータｄを用いて表すことができます．

　　Ｖ＝２ｄｚ＝２ｄ（３−１／ｄ^2）^1/2

を辺の長さ１に規格化すると，

　　Ｖ＝２ｄ（３−１／ｄ^2）^1/2／（ｄ^2＋１）^(3/2)

ｄ＝τとおくと

　　Ｖ＝２／５・｛（５＋√５）／２｝^1/2

　一方，ミンコフスキー和の計算は，

　　ｖ1（τ／２，τ／２ｔａｎπ／５，１／２）

　　ｖ2（τ／２ｓｅｃπ／５ｃｏｓ３π／５，τ／２ｓｅｃπ／５ｓｉｎ３π／５，１／２）

　　ｖ4（τ／２ｓｅｃπ／５ｃｏｓ７π／５，τ／２ｓｅｃπ／５ｓｉｎ７π／５，１／２）

をそれぞれノルムで割って規格化したものから３つ選ぶ，すなわち（３，３）個の項をもつ．その結果も

　　Ｖ＝２／５・｛（５＋√５）／２｝^1/2

となって，２つの方法で計算した結果が一致することが確認できた．

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　Ｏ6（obtuse）の体積とＡ6（acute）の体積は等しくはありません．底面積が同じであっても高さが異なるからです．菱形の鋭角が３つ集まって構成される頂点を原点として，この菱面格子の３つの基本ベクトルを

　　ａ↑＝（１，ｄ，０）

　　ｂ↑＝（１，−ｄ，０）

　　ｃ↑＝（ｘ，０，ｚ），ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１

とおきます．

　このとき，菱形の面積，体積は

　　Ｓ＝２ｄ，Ｖ＝２ｄｚ

菱形の鈍角をθとおくと

　　ｔａｎ（θ／２）＝ｄ　→　θ＝２ａｒｃｔａｎ（ｄ）

で表されます．

　次に，ｘとｚをｄで表してみることにしましょう．

　　ａ↑・ｃ↑＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓθ＝ｘ

より

　　ｘ＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓθ

　　　＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓ（２ａｒｃｔａｎ（ｄ））

　　　＝１−ｄ^2

　　ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３ｄ^2−ｄ^4

　ベクトルｃ↑とｘ軸のなす角φは

　　ｃｏｓφ＝ｘ／（ｄ^2＋１）^(1/2)＝（１−ｄ^2）／（ｄ^2＋１）^(1/2)

で求められます．

　　Ｖ＝２ｄｚ＝２ｄ^2（３−ｄ^2）^1/2

を辺の長さ１に規格化すると，

　　Ｖ＝２ｄ^2（３−ｄ^2）^1/2／（ｄ^2＋１）^(3/2)

ｄ＝τとおくと

　　Ｖ＝２／（５τ）・｛（５＋√５）／２｝^1/2

　一方，ミンコフスキー和の計算は，

　　ｖ1（τ／２，τ／２ｔａｎπ／５，１／２）

　　ｖ2（τ／２ｓｅｃπ／５ｃｏｓ３π／５，τ／２ｓｅｃπ／５ｓｉｎ３π／５，１／２）

　　ｖ3（−τ／２ｓｅｃπ／５，０，１／２）

をそれぞれノルムで割って規格化したものから３つ選ぶ，すなわち（３，３）個の項をもつ．その結果も

　　Ｖ＝２／（５τ）・｛（５＋√５）／２｝^1/2

となって，２つの方法で計算した結果が一致することが確認できた．

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