【１】菱形多面体

　合同な菱形だけでできている多面体について考えます．平行六面体となる菱面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれています．

　菱形の鋭角と鈍角の和は１８０°ですから，頂点に４つ以上の鈍角が集まることは不可能です．頂点に集まる角がすべて鈍角である場合はｑi＝３で，菱形の鈍角が１２０°より小さいことが必要になります．また，この菱形（鋭角が６０°より大きい）が頂点に集まる角がすべて鈍角である場合は最大１頂点に５枚ですから，ｑi＝４またはｑi＝５ということになります．

　ケプラーは複合多面体から菱形十二面体，菱形三十面体を発見し，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，対角線の比が白銀比（１：√２）になっている菱形を１２枚組み合わせてできる菱形十二面体と対角線の比が黄金比（１：（√５＋１）／２＝１．６１８）になっている菱形を３０枚組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしました．

　菱形十二面体，菱形三十面体は球に内接する（外接球をもつ）のですが，球には内接しないものの合同な菱形だけでできている多面体には，２種類の菱形六面体を除いて実はあと２つ，１８８５年にフェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体（第２種）があります．

　各面の菱形の対角線の長さの比が黄金比の黄金六面体の場合，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．２種類の黄金菱面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができるのですが，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ゾーン多面体の構成

　ここでは，すべての面が菱形で，すべての稜が与えられたｎ方向のみを向いている多面体を（狭義の）ゾーン多面体と呼ぶことにします．

　菱形三十面体からあるゾーン（菱形の連なった帯）を抜き取って押しつぶすと菱形二十面体，菱形二十面体からあるゾーンを抜くと菱形十二面体（第２種）になるので，これらは各面の対角線の長さの比が黄金比の菱形からなる一連のゾーン多面体と考えることができます．

　菱形のすべての稜は２方向を向いていますが，もっとも単純なゾーン多面体は菱形６面体であり，このとき稜は３方向を向いています．次に単純なゾーン多面体は菱形十二面体（立方八面体の双対）で４方向，菱形三十面体（１２・２０面体の双対）では６方向，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向をを向いています．また，すべてのゾーン多面体は菱形６面体に分割することができます．

　ゾーン多面体の面の数は

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝２，６，１２，２０，３０，４２，５６，・・・

枚となります．また，辺数，頂点はそれぞれ

　　ｅ＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｖ＝ｎ（ｎ−１）＋２

で表されます．

　コラム「菱形多面体の構成（その２）」に掲げたように，菱形多面体の決定にゾーン多面体を調べると比較的簡単に決定できます．菱形多面体では

　　６≦ｆ≦３０

を示すことができますから，

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝６，１２，２０，３０

がすべての菱形多面体を網羅していることになります．

　なぜゾーン多面体が菱形多面体を網羅するのか疑問が残るかもしれませんが，菱形に限らず，（広義の）ゾーン多面体とは面をつないだゾーン（ベルト）で作られる多面体です．それは立方八面体や１２・２０面体のように辺が正多角形にまとめられる立体の双対（相反というべきか）多面体として導入された概念ですが，フェドロフ（ロシアの結晶学者）の研究によって，面がすべて中心対称な多角形（当然偶数角形）で囲まれた多面体として特徴づけられるということが知られています．

　したがって，菱形多面体を網羅する大分類として，面がすべて平行四辺形で作られる多面体を調べれば十分です．ゾーン多面体の面数がｎ（ｎ−１）枚に限ることは比較的容易に示すことができますので，あとは面が菱形になる範囲に限定して全部が決定できます．なお，ｎが大きいときには平行四辺形だけでは間に合いませんが，中心対称な六角形，八角形，・・・などを含めて構成できる場合があるそうです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝