以前，デューラーの八面体の榎本説（７２°説）は，球に内接するが無限入れ子の方に若干のずれがあったことをレポートした．

　球に内接しかつ無限入れ子構造となるための条件は，

　　ｔ＝２（ｄ^2−１）／（ｄ^2＋１）＝３／５

したがって，

　　ｄ＝√（１３／７）

このとき，頂角θは

　　θ＝２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ）＝７２．５４２５°

で与えられる．

　透明な素材で，デューラーの八面体を作りたいのであるが，クリスタルガラスでは高くつく．アクリル素材だとしても金型代は馬鹿にならない．しかし，せっかく金をかけて作るのであれば，

　　θ＝２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ）＝７２．５４２５°

のものを作るべきであろう．

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【１】菱形六面体の計量

　菱形の対角線の長さを２ｄと２，また，この菱形の鋭角が６０°より大きく９０°より小さいとすると，ｄの取りうる値は

　　１＜ｄ＜√３

の範囲にあります．

　また，菱形の鋭角が３つ集まって構成される頂点を原点として，この菱面格子の３つの基本ベクトルを

　　ａ↑＝（ｄ，１，０）

　　ｂ↑＝（ｄ，−１，０）

　　ｃ↑＝（ｘ，０，ｚ），ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１

とおきます．

　このとき，菱形の面積，体積は

　　Ｓ＝２ｄ，Ｖ＝２ｄｚ

菱形の鋭角をθとおくと

　　ｔａｎ（θ／２）＝１／ｄ　→　θ＝２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ）

で表されます（６０°＜θ＜９０°）．

　次に，ｘとｚをｄで表してみることにしましょう．

　　ａ↑・ｃ↑＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓθ＝ｄｘ

より

　　ｘ＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓθ

　　　＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓ（２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ））

　　　＝（ｄ^2−１）／ｄ

　　ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３−１／ｄ^2

　ベクトルｃ↑とｘ軸のなす角φは

　　ｃｏｓφ＝ｘ／（ｄ^2＋１）^(1/2)＝（ｄ^2−１）／ｄ（ｄ^2＋１）^(1/2)

で求められますが，このように菱形六面体の計量値はすべてパラメータｄを用いて表すことができます．

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【２】菱形六面体の切頂

　菱面体の中心の座標は（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）ですから，８頂点のうち６つ

　　（ｄ，１，０），（ｄ，−１，０），（２ｄ，０，０）

　　（ｘ，０，ｚ），（ｄ＋ｘ，１，ｚ），（ｄ＋ｘ，−１，ｚ）

までの距離ｒはすべて等しく

　　ｒ^2＝（ｘ^2＋ｚ^2）／４＋１＝（ｄ^2＋５）／４

と計算されます．すなわち，これらは半径Ｒの同心球面上に位置します．

　しかし，菱形の鋭角が３つ集まって構成される２つの頂点

　　　（０，０，０），（２ｄ＋ｘ，０，ｚ）

はこの球には内接しません．その頂点までの距離は等しく

　　Ｒ^2＝（ｄ＋ｘ／２）^2＋（ｚ／２）^2＝（９ｄ^2−３）／４

そこで，この頂点を切頂して同心球面上に位置するようにします．

　球との交点を，パラメータｔ（０＜ｔ＜１）を用いて

　　（ｔｄ，ｔ，０），（ｔｄ，−ｔ，０），（ｔｘ，０，ｔｚ）

とすると，ｔは２次方程式

　　（ｄ^2＋１）ｔ^2−（３ｄ^2−１）ｔ＋２ｄ^2−２＝０

の解に帰着され

　　ｔ＝２（ｄ^2−１）／（ｄ^2＋１）

と計算されます．

　切頂によって新たにできる三角形は１辺の長さが２ｔの正三角形で，切頂される三角錐は底面積Ｓ’＝ｔ^2ｄ，高さｔｚですから，その体積は

　　Ｖ’＝ｔ^3ｚｄ／３

　　ｔ＝２（ｄ^2−１）／（ｄ^2＋１）

　　ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３−１／ｄ^2

で計算されることになります．２個あわせて菱形６面体（Ｖ＝２ｄｚ）のｔ^3／３倍となるというわけです．

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【３】デューラーの八面体の木工製作

　ここで考える菱形六面体は１＜ｄ＜√３，すなわち菱形面の鋭角が６０°＜θ＜９０°の範囲にあるものです．また，Ａ，Ｂ，Ｃを菱形六面体からデューラーの八面体を作るために必要な諸計量値を

　　ｃｏｓφ＝（ｄ^2−１）／ｄ（ｄ^2＋１）^(1/2)

　　Ｂ＝π／２−φ

　　ｔａｎＡ＝１／ｄｃｏｓＢ

　　ｃｏｓＣ＝２／（３（ｄ^2＋１））^(1/2)

とします．Ａ，Ｂは菱形六面体を作るのに必要な計量値，Ｃとｔ（前述）が切頂に必要な計量値です．

　　θ＝72.5425

　　Ａ＝38.3288

　　Ｂ＝21.8454

　　Ｃ＝46.9113

　　ｔ＝.6

と計算されました．

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