２平方和定理「２より大きい素数が２つの整数ａ，ｂを用いて，ｐ＝ａ^2＋ｂ^2と表されるためには，ｐが４ｎ＋１型素数であることが必要十分である」は，ガウス整数の世界では

　　ｐ＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）

と素因数分解される条件を与えている定理であるとみることができる．

　四元数，八元数の世界ではどうだろうか？

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［１］四元整数（リプシッツの整数）

　ハミルトンの四元数

　　Ｈ＝ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ

において，ａ，ｂ，ｃ，ｄを整数に限った「四元整数」は４次元単純立方格子と同一視することができます．

　ハミルトンの四元整数環は乗法の交換法則が成り立たない非可換環ですが，４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの３次元球面上には必ず格子点があることを主張しているのが「ラグランジュの定理」であることは，このコラムでもこれまで何回か説明したとおりです．

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［２］フルヴィッツの整数とＤ4格子

　四元整数（リプシッツの整数）に

　　（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

を追加した数の体系を「フルヴィッツの整数」と呼びます．ａ，ｂ，ｃ，ｄのすべてが整数か，あるいはすべてが半整数のとき，フルヴィッツの整数なのです．フルヴィッツの整数全体は整数座標点と半整数座標点からなりますので，４次元体心立方格子であるというわけです．

　なお，

　　（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

は１の原始６乗根であり，

　　ζ＝ζ++++＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

とおくと，

　　ζ^2＝ζ-+++，ζ^3＝−１，ζ^4＝ζ----，ζ^5＝ζ+---，ζ^6＝１

となります．

　フルヴィッツ単数すなわち１の約数は，

　　±１，±ｉ，±ｊ，±ｋ　　　８個

　　ζ±±±±のあらゆる符号の組合せ（±１±ｉ±ｊ±ｋ）／２をとった１６個

の計２４個あります．

　四元数ではかけ算の交換法則は成り立ちませんから，Ｐを２つのフルヴィッツ整数の積で表す方法は単数Ｕを右からかけるＰ＝Ｐ’Ｕ，単数Ｖを左からかけるＰ＝ＶＰ”の２通りあります．Ｐがフルヴィッツ素数のときの素因数分解はＵ，Ｖを２４個のフルヴィッツ単数上を動かしたときの

　　Ｐ＝ＰＵ^(-1)・Ｕ，Ｐ＝Ｖ・Ｖ^(-1)Ｐ

だけです．

　したがって，Ｑのフルヴィッツ素数への分解

　　Ｑ＝Ｐ0Ｐ1・・・Ｐk

があるとき，

　　Ｑ＝Ｐ0Ｕ1・Ｕ1^(-1)Ｐ1Ｕ2・・・Ｕk^(-1)Ｐk

も素因数分解となります．このような単数転移を除いて，フルヴィッツの整数においても素因数分解の一意性が成立します．それに対して，リプシッツ整数の分解は一意ではありません．

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［３］Ｄ4格子の第ｎ近接

　この２４個の単数は４次元空間で正２４胞体をなしています．正２４胞体に相当する３次元正多面体はありません．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからです．実は２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものなのです．

　この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されます．それに対して，２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．

　２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．

　なお，正２４胞体による空間充填は４次元独特の充填形です．正２４胞体の頂点は正８胞体と正１６胞体の頂点をなしますから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体に対応するものであって，正２４胞体による４次元空間充填形は４次元版の菱形１２面体による空間充填形に相当します．すなわち，それは４次元の面心立方格子といってよいものであって，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているのですが，４次元の最密正則胞体充填構造Ｄ4は正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています．

　Ｄ4格子（＝Ｆ4格子）は４次元の体心立方格子であり，正２４胞体による４次元空間の充填形に相当するものです．ここで，σ0（ｎ）をｎの奇数の約数の和と定義します．そうすればＤ4格子では原点からのノルムがｎである点の個数が

　　２４σ0（ｎ）

で与えられるのですが，

　　ｎ＝１　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝２　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝３　→　２４・（１＋３）＝９６個

　　ｎ＝４　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝５　→　２４・（１＋５）＝１４４個

　　ｎ＝６　→　２４・（１＋３）＝９６個

　　ｎ＝７　→　２４・（１＋７）＝１９２個

　　ｎ＝８　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝９　→　２４・（１＋３＋９）＝３１２個

　　ｎ＝10　→　２４・（１＋５）＝１４４個

　さらに，Ｄ4格子の各格子点の勢力範囲が１／２であることを使うと

　　Σ１／ｎ^2＝π^2／６

を証明できます．同様に，例外型リー環に属する８次元のＥ8格子では

　　２４０σ3（ｎ）

であり，勢力域の体積が１／１６であることから

　　Σ１／ｎ^4＝π^4／９０

を得ることができます．

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［４］ケイリー整数とＥ8格子

　八元数Σａjｅjにおいて，係数ａj(j=0~7)が

　　1)整数値をとるもの

をグレーブス整数と呼びます．さらに

　　2)半整数値の奇数倍をとるもの

　　3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍をとるもの

を加えて，「ケイリーの（八元）整数」と呼びます．

　半整数値をとる座標は０個か４個か８個です．ただし，3)において整数である番号は（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組に限ります．

　このような点をすべてとると，８次元空間内で隣り合う２点間の距離がすべて１の格子ができあがります．原点に隣接する点は２４０個あり，それらと原点を結ぶベクトルが例外型リー環のＥ8ルート系を表すので，この格子をＥ8格子といいます．

　Ｅ8格子にはほかにもいくつかの構成法があり，ここではケイリー整数との関連で説明しましたが，その配列は本質的にはこの形しかありません．Ｓ^7の上の２４０個の点は直交変換で互いに移りうる点の組を同じものとみなすと一意なのです．

　そして，８次元空間において，２個の正軸体（正８面体の拡張）と１個の正単体（正４面体の拡張）を組み合わせると空間充填形ができるのですが，ケイリー整数の作る格子がその具体形になっていて，Ｅ8はＡ8とＤ8両方を含んでいるというわけです．

　なお，Ｅ8格子において，原点からの距離が√ｎである格子点の個数は

　　２４０σ3（ｎ）

（ここで，σ3（ｎ）はｎの約数の３乗の和）と表せることが知られています．すなわち，

　　ｎ＝１（１^1，０^7）（1/2^4，０^4）　→　２４０・１^3＝２４０個

　　ｎ＝２（１^2，０^6）（1/2^4，１^1，０^3）（1/2^8）　→　２４０・（１^3＋２^3）＝２１６０個

　　ｎ＝３　→　２４０・（１^3＋３^3）＝６７２０個

　　ｎ＝４　→　２４０・（１^3＋２^3＋４^3）＝１７５２０個

　　ｎ＝５　→　２４０・（１^3＋５^3）＝３０２４０個

　こうして，ケイリー単数は２４０個あることがわかります．

　　±（０），±（１），±（２），±（３），±（４），±（５），±（６），±（７）　　　１６個

と（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組のあらゆる符号の組合せ

　　１／２（±０±ｉ±ｊ±ｋ）　　　１４・１６個

　ケイリーの整数の素因数分解では，フルヴィッツ整数のように単数転移だけでは一意的ではなく，結合法則の欠如も考慮しなければなりません．ＰＵ・Ｕ1^(-1)ＱがＰＱに等しいとは限らないのです．しかしながら，たとえば，Ｐ1（（Ｐ2Ｐ3）Ｐ4）と（Ｐ1Ｐ2）（Ｐ3Ｐ4）の間の関係づけの正当化（メタ転移）を要求することによって一意的にできるのです．

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