Ｃn／Ｓn＝２^n／√（ｎ＋１）

となって，ｎ＋１が平方数のとき，有理数倍になることがわかった．また，コラム「平行体の体積とグラミアン」（その７５），（その８２）において，準正多胞体の体積とその外接正多胞体の体積比をまとめた．

［１］２^n＋２ｎ胞体の体積＝１／２・（４／ｎ）^n

　　　外接正軸体の体積＝２^n／ｎ！

したがって，体積比はｎ！／２・（２／ｎ）^n

　また，外接立方体の体積＝（４／ｎ）^n

であるから，この場合の体積比は１／２である．

［２］ｎ＝７までの限られた検討であるが，２（２^n−１）胞体の体積はｃ（ｎ＋１）^1/2

　　　外接正単体の体積＝（ｎ＋１）^1/2／２^n/2ｎ！

したがって，体積比はｃ２^n/2ｎ！

　いずれにせよ［１］の元素が整数倍で立方体になり，その元素の有理数倍で正単体の体積と等しくなることがわかる．すなわち，

　　ｍＶs＝ｎＶc

となって，デーンの定理と似た形になるが，このことによって（その７４）での考察に変化はあるのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Ｖ＝Ｖ1ａ^n，Λ＝Λ1ｂ^n，

　　Ｖ／Λ＝Ｖ1／Λ1（ａ／ｂ）^n

において，Ｖ1は偶数次元で整数，奇数次元で√２，Λ1は√（ｎ＋１），√｛（ｎ＋１）／２｝で有理的に表される．

　したがって，体積に含まれる定数√（ｎ＋１），√｛（ｎ＋１）／２｝が鍵を握るようである．

［１］偶数次元で√（ｎ＋１）が整数ｋとなるのはｎ＝ｋ^2−１のとき

［２］奇数次元で√｛（ｎ＋１）／２｝がｋ√２となるのはｎ＝４ｋ^2−１のときである．

　これは特定のｎについては可能（例えばｎ＝３なら（ｎ＋１）^1/2＝２で実際可能）であるが，それ以外のとき，Ｖ／Λが有理的に表されるかどうかは不明である（例えばｎ＝８について．しかし，この計算は時間がかかるのでアボートさせた）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［まとめ］ｍＶs＝ｎＶcにおいて，Ｖsは有理数（無理数）のとき，Ｖcが無理数（有理数）になれば矛盾を生じるので都合がいいが，体積を使った議論では限界がありそうである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝