【１】正軸体の体積

　ｎ次元の幾何学の例をあげよう．三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．高次元の多面体ではこのようになることが知られている．

　これは底面の形に関わらず成り立つこと，正軸体は重角錐であることより，ｎ次元正軸体の体積Ｖnの漸化式は

　　Ｖn＝Ｖn-1×２／ｎ

で表される．

　したがって，１辺の長さ√２の正軸体の体積は

　　Ｖn＝２^n／ｎ！

となる．すなわち，与えられた体積は，ｎ次元立方体の体積の１／ｎ！であって，

　　Ｖ2＝２，Ｖ3＝４／３，・・・

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【２】正単体の体積

　三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．

　正単体の体積を求めるにあたって問題となるのは，その高さである．高さを求めるために，ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とする．稜の長さが√２の正単体であるから，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

とすることができる．

　これらの座標が与えられたとき，底面

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心は

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

であるから，頂点

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

との距離（高さ）Ｈnは，

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）

で与えられることになる．

　したがって，漸化式

　　Ｖn＝Ｖn-1×Ｈn／ｎ

より，１辺の長さ√２の正単体の体積は

　　Ｖn＝√（１＋ｎ）／ｎ！

を得ることができる．

　Ｖ2＝√３／２，Ｖ3＝１／３，・・・

となるが，Ｖ2，Ｖ3はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができるであろう．

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【３】正軸体の体積（その２）

　混乱を避けるため，１辺の長さ√２の正軸体の体積を

　　Ｃn＝２^n／ｎ！

１辺の長さ√２の正単体の体積を

　　Ｓn＝√（１＋ｎ）／ｎ！

とします．

　ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　ｐn（０，０，・・・，０）

　正軸体は底面積Ｓn-1の直角三角錐２^n個からできていて，中心からｎ−１次元の中心

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

までの距離は１／√ｎですから，

　　Ｃn＝Ｓn-1×２^n／ｎ√ｎ

とも計算されます．

　一方，

　　Ｓn＝Ｓn-1×√（１＋１／ｎ）／ｎ＝Ｓn-1×√（ｎ＋１）／ｎ√ｎ

ですから，

　　Ｃn／Ｓn＝２^n／√（ｎ＋１）

となって，ｎ＋１が平方数のとき，有理数倍になることがわかります．

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