２通りに計算するということを喩えていうならば，家計簿つけのシーンにおいて，まず行ごとの合計を求めそれを総計する，次に列ごとの合計を求めそれを総計する，そして計算が正しければその２つの計算結果は一致するはずというわけです．

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【１】ガウス積分

　正規分布は一般的な誤差の分布関数で，その確率密度関数，累積分布関数それぞれ

f(x)=1/√2πexp(-x^2/2)=φ(x)

F(x)=∫(-∞,x)f(t)dt=Φ(x)

と表されます．ここでは，正規分布の累積分布関数Φ(x)に関連して，

I=∫(0,∞)exp(-x2)dx

の値を計算してみます．

　ケルビン卿の銘言に「数学者とは

　　∫(-∞,∞)exp(-x2)dx=√π

を１＋１＝２のように自明だと思っている人である」とある．われわれは数学者ではないが，極座標を用いることによって，簡単に数学者になることができます．

I^2=∫(0,∞)exp(-x^2)dx∫(0,∞)exp(-y^2)dy（２重積分）

=∫(0,π/2)∫(0,∞)exp(-r^2)rdrdθ（極座標変換）

より，結局，

I=√π/2となります．

　以前より，どうして正規分布に円周率πが現れるか疑問視しておられた方も多いと思いますが，極座標に変換することによって，πが自然に入り込んできます．また，ここでは２重積分を用いてガウス積分を解きましたが，複素積分を用いると，もっと直接的に角度と関係していることが理解されます．ともあれ，πは幾何のみならず，統計にも使われることになります．

　また，上式において，x^2=tとおくと，ガウス積分とガンマ関数との面白い関係

√π=2I=2∫(0,∞)exp(-x^2)dx=∫(0,∞)exp(-t)/√tdt=Γ(1/2)

も得られます．

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【２】ガンマ関数

Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)e^-tdt x>0

　この無限積分をｘの関数とみてガンマ関数Γ(x)といいます．

Γ(1)=∫(0,∞)e^-tdt=1

Γ(1/2)＝∫(0,∞)t^(-1/2)e^-tdt

ここで，t=u^2とおくと∫(0,∞)e^-u^2/2du=√π/2（ガウス積分）より

Γ(1/2)＝√π

が得られます．

　オイラーの第２種積分とも呼ばれるガンマ関数Γ（ｘ）には，Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．

Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････

したがって，ｘが正の整数ｎのときには

Γ（ｎ＋１）＝ｎ！が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．階乗の解析的補間をしている関数がガンマ関数なのです．

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【２】ガンマ関数と超球との関係

　ガウス積分をｎ次元に拡張し，

I=∫(-∞,∞)exp(-x1^2+x2^2+･･･+xn^2)dx1dx2･･･dxn

を考えると∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=√πのｎ重積分より，直ちに

I=π^(n/2)を得ることができます．

　n次元ガウス積分を別の方法，直交座標でなく，極座標で求めてみましょう．球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．また，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はｖnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^n-1となります．

　ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し，次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分すると，半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r^2)をとり，表面積はｎＶnｒn-1ですから，

I=∫(0,∞)exp(-r^2)ｎＶnｒ^n-1dr

=ｎＶn∫(0,∞)r^(n-1)exp(-r^2)dr

　z=r^2と変数変換するとdz=2rdrより

I=ｎＶn/2∫(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz

=Ｖnn/2Γ(n/2) n/2Γ(n/2)=Γ(n/2+1)

=ＶnΓ(n/2+1)

したがって，Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)　　　ｒn=

を得ることができます．

　この結果は，形式的にＶn=π^(n/2)/(n/2)！と書くことができます． Γ(m+1)=m!

これより，半径ｒのｎ次元超球の超体積はＶnｒ^n=(πr2)^(n/2)/Γ(n/2+1)となります．

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