新たに生じる正三角形同士は合同である必要はないとして，ｎ個の自分自身と相似な正三角形に分割する問題は，ｎ＝４またはｎ≧６ならば可能であることが知られている．

　正三角形に限らず正方形の場合も同様に，新たに生じる正方形同士は合同である必要はないとして，ｎ個の自分自身と相似な正方形に分割する問題は，ｎ＝４またはｎ≧６ならば可能であることが知られている．

　今回のコラムではこれらについて証明してみたい．

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　正三角形の３辺の中点を結ぶと，もとの正三角形は合同な４つの正三角形に分割される（ミツウロコ型）．正方形の対辺の中点を結ぶと，もとの正方形は合同な４つの正方形に分割される（田の字型）．

　正三角形の３辺の３等分を結ぶと，もとの正三角形は合同な９つの正三角形に分割される．正方形の対辺の３等分点を結ぶと，もとの正方形は合同な９つの正方形に分割される（囲の字型）．

　もとの三角形（正方形）を大三角形（大四角）として，これらのなかでミツウロコ型（田の字型）を中三角形（中四角形）とみなすと，もとの正三角形（正方形）は１つの中三角形（中四角形）と合同な５つの小三角形（小四角形）の６つの三角形，四角形に相似分割される．

　すなわち，正三角形（正方形）は４個あるいは６個の正三角形（正方形）に分けることができる．分ける際，正三角形（正方形）は３個あるいは５個ずつ増えていく．

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　以下，７より大きい個数なら，相似分割できることを数学的帰納法を用いて証明する．

［１］８＝５＋３，９＝３＋３＋３，１０＝５＋５

［２］８→１１→１４→・・・

　　　９→１２→１５→・・・

　　　１０→１３→１６→・・・

［３］ｋ，ｋ＋１，ｋ＋２個に相似分割できるならば，ｋ＋３，ｋ＋４，ｋ＋５個に相似分割できることになる．

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