任意の三角形の３辺の中点を結ぶと，もとの三角形は合同な４つの三角形に分割される．新たに生じた三角形はもとの三角形と相似（相似比１：２）である．このように任意の三角形は自分自身と相似な４個の三角形に分けることができる．

　新たに生じる三角形同士は合同である必要はないとして，ｎ個の自分自身と相似な三角形に分割する問題は，ｎ＝４またはｎ≧６ならば可能であることが知られている．

　ｎ＝２，ｎ＝３の場合は直角三角形のみがそのように分割可能である．ｎ＝５，すなわち，５つの相似三角形に分割できる三角形は何かという問題では直角三角形は自分自身と相似な５個の三角形に分割できるが，それ以外に内角３０°，３０°，１２０°の二等辺三角形が可能である．５つの相似三角形に分割できる三角形はこの２種類のみであることが証明されている．

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【１】相似分割

　新たに生じる正三角形同士は合同である必要はないとして，ｎ個の自分自身と相似な正三角形に分割する問題は，ｎ＝４またはｎ≧６ならば可能であることが知られている．

　正三角形に限らず正方形の場合も同様に，新たに生じる正方形同士は合同である必要はないとして，ｎ個の自分自身と相似な正方形に分割する問題は，ｎ＝４またはｎ≧６ならば可能であることが知られている．

　しかしながら，図形数とは違って，この問題を任意の正多角形に拡張することはできそうにない．４個の正三角形で大きな正三角形を作ることができる．正方形を４個集めればより大きな正方形ができる．しかし，正五角形は平面を埋め尽くすことができない．正六角形は平面を埋め尽くすことができるが，より大きな正六角形にはならないからである．

［補］互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるだろうか？

　この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明される．

　正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形では，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会するとすると，正ｐ角形の一つの内角は２（１−２／ｐ）×９０°であり，一つの頂点の回りの内角の和はこれがｑ個集まって四直角であるから，

　　２ｑ（１−２／ｐ）＝４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＝１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかない．

　したがって，平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３つだけで，このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみであろう．

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【２】合同分割可能な直角三角形

　任意の三角形の３辺の中点を結ぶと，もとの三角形は合同な４つの三角形に分割される．新たに生じた三角形はもとの三角形と相似（相似比１：２）である．このように任意の三角形は自分自身と相似な４個の三角形に分けることができる．それでは・・・

（Ｑ）２つの合同三角形に分割できる三角形（レプ２三角形）は何か？

（Ｑ）３つの合同三角形に分割できる三角形（レプ３三角形）は何か？

（Ｑ）５つの合同三角形に分割できる三角形（レプ５三角形）は何か？

（Ａ）辺の長さが１：１：√２の直角三角形（４５°，４５°，９０°の三角形，三角定規のひとつ）は同形４つだけでなく，２つの同形にも分割できる特殊な三角形である．

（Ａ）辺の長さが１：√３：２の直角三角形（３０°，６０°，９０°の三角形，三角定規のひとつ）は同形４つだけでなく，３つの同形にも分割できる特殊な三角形である．

（Ａ）辺の長さが１：２：√５の直角三角形は同形４つだけでなく，５つにも分割できる特殊な三角形である．

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【３】その他のレプタイル

　対称な台形，対称でない台形も自己複製可能である．Ｌ字型，スフィンクス型も自己複製可能である．

　対称な台形は自己複製可能であるが，それを２個組み合わせたスフィンクス型レプタイルは自己複製可能である．同様に，正方形は自己複製可能であるが，それを３個組み合わせたＬ字型レプタイルも自己複製可能である．

　レプタイル（reptile）は自己複製タイル（replicating tile）の省略形であるが，爬虫類という意味もある．

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