正方形をすべて大きさの異なる正方形で埋め尽くすことができるか？

　（その１）では

［１］１９５１年，ウィルコックスは位数２４，１辺１７５のものを発見しました．これもその中に完全長方形が含まれていましたが，それでもこれ以上位数の少ない完全正方形は存在しないだろうと予想されていました．

［２］１９６２年，デゥイヴェスチジンは正方形に正方形を敷き詰めるのに少なくても２１枚の正方形が必要なことを証明し，１９７８年までに

　　５０，２９，３３，２５，４，３７，３５，１５，９，１６，２，７，１７，１８，４２，１１，６，２７，８，２４，１９

の２１個の正方形からなる単純（分断線ができないこと）かつ完全（分割を構成する正方形がすべて異なる大きさであること）な正方形分割が最小かつ唯一（他には存在しない）のものであることを証明しました．

と書いたが，位数に誤りがあるようだ．

　私の記述は必ずしも正確ではないので注意してほしい．

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［１］１９５１年，ウィルコックスは位数２４（→位数２５）のものを発見しました．これもその中に完全長方形が含まれていましたが，それでもこれ以上位数の少ない完全正方形は存在しないだろうと予想されていました．

［２］１９６２年，デゥイヴェスチジンは正方形に正方形を敷き詰めるのに少なくても２１枚（→２０枚）の正方形が必要なことを証明し，１９７８年までに

　　５０，２９，３３，２５，４，３７，３５，１５，９，１６，２，７，１７，１８，４２，１１，６，２７，８，２４，１９

の２１個（→２０個，２，４，６，７，８，９，１１，１５，１６，１７，１８，１９，２４，２５，２９，３３，３５，３７，４２，５０）の正方形からなる単純（分断線ができないこと）かつ完全（分割を構成する正方形がすべて異なる大きさであること）な正方形分割が最小かつ唯一（他には存在しない）のものであることを証明しました．

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　なお，２０か２１に関連して

［１］ルービックキューブの配置は約４３×１０^18通りあるが，いかなる配置もｎ手以下で解けるという最小手数はいくつかという数学問題があり，この問題の解は「神の数」と呼ばれるようになった．ロキッキは１９５億通りの配置を調べ神の数が２２以下であることを突き止めたが，彼は神の数が２０であることを確信しているという．はたせるかな，２０１０年７月，トマス・ロキッキは神の数が２０であることを証明した．ルービックキューブのいかなる配置も２０手以下で解けるのである．

［２］同じサイズの正四面体の頂点を１つの点の周りに集める．最大何個の正四面体を集めることが可能か？

　正２０面体の２０個の四面体を正四面体に置き換えるとそれらの間には小さい隙間ができる．隙間をうまく集めることができればもうひとつの正四面体を入れることができる可能性はあるが，最大個数は２０個と予想される．

　なお，２３個以上は不可能であることは以下のようにして証明される．

［証］正四面体の二面角はｃｏｓθ＝−１／３．球面正三角形の面積をＳとすると，

　　Ｓ＝３θ−π＝０．５５１２・・・

最大個数をｎとすると，

　　２０≦ｎ≦４π／Ｓ＝２２．７

　しかし，最大個数が２０個であることを証明するのは（たとえ可能であるとしても）結構難しいものになる．

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