コラム「菱形多面体の構成」では合同な菱形だけでできる立体が何種類あるのかについて調べるために，「ポリドロン」の試作品を使って扁長菱面体（六面体），扁平菱面体（六面体），菱形十二面体，菱形十二面体（第２種），菱形二十面体，菱形三十面体の模型を作ってみました．
クロムウェル「多面体」シュプリンガー・フェアラーク東京
には，１９６０年にビリンスキーが全部を調べて，新種（菱形十二面体・第２種）を発見した旨の記載があります．また，一松信先生より，凸体に限らなければ，
Coxeter "Regular polytope"
に，菱形５枚を星形正五角形のように組み合わせてできる図形２種が載っているのいうお話を伺いました．ただし，この２種の図形は立体の内部に別の頂点があるというおかしな図形であるとのことです．
前回のコラムでは，オイラーの公式
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
を用いて菱形多面体の存在条件を求めてみたのですが，下限（ｆ≧６）は簡単に求められたものの，上限（ｆ≦３０？）についてはそううまくはいきませんでした．このことは，この種の研究にオイラーの公式は指針にはなるものの思ったほど有用ではないということなのでしょうか？ 再考してみることにしました．
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【１】オイラーの公式・再考
［１］デルトイドの場合
正則な多面体とはその面が正多角形で，どの頂点にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，各頂点に正ｐ角形がｑ面集まる正多面体では，
ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ
が成り立ちます．
すべての面が正三角形で構成されている立体をデルタ多面体（正三角面体）といいます．ｐ＝３，ｑ＝３，４，５とおくと，
３ｆ＝２ｅ，３ｖ＝２ｅ，ｖ−ｅ＋ｆ＝２ → ｆ＝４（正四面体）
３ｆ＝２ｅ，４ｖ＝２ｅ，ｖ−ｅ＋ｆ＝２ → ｆ＝８（正八面体）
３ｆ＝２ｅ，５ｖ＝２ｅ，ｖ−ｅ＋ｆ＝２ → ｆ＝２０（正二十面体）
となります．
正則とは限らない一般の多面体では
Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，
Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ
となります．デルトイドの場合，ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから
３ｆ＝２ｅ （ｆは偶数）
３ｖ≦２ｅ≦５ｖ
これをオイラーの多面体定理
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
に代入すると
６≦ｅ≦３０
これより
４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）
が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．このように下限・上限が求められるとそれを実際に構成する際に非常に有用となります．
結論をいいますと，デルタ多面体（正三角面体）は正４面体，正８面体，正２０面体も含めて全部で８種類あります．面数の少ない順に並べると４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０面体で，デルタ１８面体は存在しません．デルトイドのうち，４面，８面，２０面（正多面体）と６面，１０面，１６面体は割合簡単ですが，１２面，１４面体は一工夫必要になります．→コラム「デルタ多面体の構成」
また，
クロムウェル「多面体」シュプリンガー・フェアラーク東京
にはデルトイドが「三角面体」という語で載っています．１８面体（ｖ＝１１）が不可能なことの証明は明記されていませんが，１１個ある頂点の形を何種かと決め，そのような形に組み立てるのにどうするかと考えるのですが，どう作っても凸体にならないという形で不可能性を示すようです．このことは１９４２年にフロイデンタールによって決定されたとのことでした．
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デルトイドに対して，すべての面が正方形，正五角形で構成されている立体は一意に決まり
［２］すべての面が正方形で構成されている立体の場合
４ｆ＝２ｅ，３ｖ＝２ｅ，ｖ−ｅ＋ｆ＝２ → ｆ＝６（立方体）
［３］すべての面が正五角形で構成されている立体の場合
５ｆ＝２ｅ，３ｖ＝２ｅ，ｖ−ｅ＋ｆ＝２ → ｆ＝１２（正十二面体）
となります．
中川宏さんの木工多面体の例でみたように，正五角形とは限らない５角形１２面でできた立体は無数に存在します．それに対して，すべての面が正六角形で構成される立体はひとつも存在しません．このような立体は正則と条件を外して六角形という条件にしても存在しえないのですが，オイラーの公式から，多面体の少なくとも１つの頂点は３次か４次か５次でなければならず，すべての頂点の次数が６以上となることは不可能であることが導き出されます．→コラム「書ききれなかった形のはなし」
以上のことから，ｑの平均値を
ｑm＝Σｑi／ｖ
とおくと，
ｐＦ＝２ｅ，ｑmｖ＝２ｅ
となって，多面体の面数ｆの上限・下限を決定するのにｑの平均値：ｑmは重要な役割を果たすことが理解されます．
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【２】菱形多面体の場合
菱形の鋭角（acute）ｍ個と鈍角（obtuse）ｎ個が集まる頂点をａmｏnで表すことにすると，菱形の鋭角と鈍角の和は
ａ＋ｏ＝１８０°
ですから，頂点に４つ以上の鈍角が集まることは不可能です．頂点に集まる角がすべて鈍角である場合はｑ＝３すなわちｏ3で，菱形の鈍角が１２０°より小さいことが必要になります．
ｏ＝１２０°（ａ＝６０°）の菱形では平面充填形となってしまいますから，ｏ3を有する菱形多面体の面は，正三角形を２個つなげた菱形（対角線の長さの比が１：√３）よりも太っていることが必要で，黄金比や１：√２の菱形などがその候補となるというわけです．
また，この菱形（鋭角が６０°より大きい）が頂点に集まる角がすべて鋭角である場合は最大１頂点に５枚ですから，ａ3またはａ4またはａ5ということになります．また，鈍角と鋭角が混ざっている頂点がある場合，ａ＋ｏ＝１８０°ですから，ａ1ｏ1，ａ2ｏ2は存在し得ず，ａ3ｏ1，ａ2ｏ1，ａ1ｏ2のみが可能となります．
このような場合「ポリドロン」は有用で，模型を作ってみると思いがけない性質が見てとれるのですが，実際には
扁長菱面体：ａ3＝２，ａ1ｏ2＝６
扁平菱面体：ａ2ｏ1＝６，ｏ3＝２
菱形十二面体：ａ4＝６，ｏ3＝８
菱形十二面体（第２種）：ａ4＝２，ａ3ｏ1＝４，ａ1ｏ2＝４，ｏ3＝４
菱形二十面体：ａ5＝２，ａ3ｏ1＝１０，ｏ3＝１０
菱形三十面体：ａ5＝１２，ｏ3＝２０
のように必要条件として，さらに
Σｍi＝Σｎi＝ｅ
を満たすような頂点が可能となります．
以上をまとめると
ｑ＝３：ａ3，ａ2ｏ1，ａ1ｏ2，ｏ3
ｑ＝４：ａ4，ａ3ｏ1
ｑ＝５：ａ5
であり，ｑ＝６となる頂点は不可能です．
また，ｏ3をもたない多面体ではある頂点に鋭角が３つ集まってａ3となるのですが，それは扁長菱面体のケースですからｑｍは最小（ｑm＝３）となり除外することができます．こうしてｑmが最大になるのはａ5とｏ3のみからなる菱形多面体の場合と考えられます．
このとき，ａ5の頂点数をｘ，ｏ3の頂点数をｙとすると，
５ｘ＋３ｙ＝２ｅ
５ｘ＝ｅ，３ｙ＝ｅ
が成り立ちますから，
ｑm＝（５ｘ＋３ｙ）／（ｘ＋ｙ）
５ｘ＋３ｙ＝２ｅ，ｘ＝ｅ／５，ｙ＝ｅ／３
を代入すると
ｑm＝１５／４
これより，
３≦ｑm≦１５／４＜４
となるのですが，
４ｆ＝２ｅ，ｑmｖ＝２ｅ
をオイラーの公式に代入すると
１２≦ｅ≦６０ → ６≦ｆ≦３０
となって，ｆの上限値が得られました．
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４ｆ＝２ｅよりｅは偶数ですが，さらに
５ｘ＝ｅ，３ｙ＝ｅ
よりｅは５の倍数かつ３の倍数ですから，ｆは１５の倍数であることがわかります．しかし，ｆ＝１５，３０，４５，６０，・・・と順に検討しなくても，ａ5とｏ3のみからなる菱形多面体は，オイラーの公式から直ちにｆ＝３０であることが導き出されます．
前回のコラムではこのような必要条件を満たす対象を
ｐi＝４，３≦ｑi≦５
のように広めに見積もったために失敗したのですが，たとえ，
ｐi＝４，３≦ｑi≦４
であったとしてもｆの上限は得られません．
３≦ｑm≦１５／４＜４
のようにｑmに対して正確に見積もり，オイラーの公式を適切に使えば有用な結論を引き出せることがわかりました．
ちなみに，ｑmは
扁長菱面体：ｑm＝３
扁平菱面体：ｑm＝３
菱形十二面体：ｑm＝２４／７＝３．４３＜４
菱形十二面体（第２種）：ｑm＝２４／７＝３．４３＜４
菱形二十面体：ｑm＝４０／１１＝３．６４＜４
菱形三十面体：ｑm＝１５／４＝３．７５＜４
と計算されます．
一般的な場合について考察すると頂点ａmｏnの個数をｋmn，すなわち，
ｑ＝３：ａ3の個数をｋ30，ａ2ｏ1の個数をｋ21，ａ1ｏ2の個数をｋ12，ｏ3の個数をｋ03
ｑ＝４：ａ4の個数をｋ40，ａ3ｏ1の個数をｋ31
ｑ＝５：ａ5の個数をｋ50
とおくと
３ｋ30＋３ｋ21＋３ｋ12＋３ｋ03＋４ｋ40＋４ｋ31＋５ｋ50＝２ｅ
３ｋ30＋２ｋ21＋ｋ12＋４ｋ40＋３ｋ31＋５ｋ50＝ｅ
ｋ21＋２ｋ12＋３ｋ03＋ｋ31＝ｅ
が成り立ちます．
このようにすると，整数の分割問題のようでもありますから，全部を調べて
ｑm＝２ｅ／（ｋ30＋ｋ21＋ｋ12＋ｋ03＋ｋ40＋ｋ31＋ｋ50）
の範囲を数え上げることはかなり面倒だと思われます．しかし，以上のようにａ5とｏ3のみからなる菱形多面体に絞って考えると，ｆの上限：ｆ≦３０を簡単に求めることができるというわけです．
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