互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れません．

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．

　４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならないことも簡単に示すことができます．

　　ａ＝４ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋２　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋３　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかならないので，この主張が示されました．

　ｐを素数として，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は

　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）またはｐ＝２

であることは有名です．

　それに較べてあまり知られていないのですが，ｐ＝ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は

　　ｐ＝１（ｍｏｄ３）またはｐ＝３

が成り立つことです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ヤコビ和とガウス和

　ヤコビ和を使うと（←）が簡単に証明できます．

（証明）ｐ＝２（ｍｏｄ３）であれば，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2を割った余りは２になり得ないので解なし．ｐ＝１（ｍｏｄ３）であれば，

　　Ｊ(χ)＝ｘ＋ｙω，Ｊ(χ~)＝ｘ＋ｙω~

と表される．

　　ｐ＝｜Ｊ(χ)｜^2＝Ｊ(χ)Ｊ(χ~)

　　　＝（ｘ＋ｙω）（ｘ＋ｙω~）＝ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ここで，一般的に話を進めるためにガウス和とヤコビ和の本来の姿を導入しますが，位数ｐ−１の巡回群の指標には１のｐ乗根が対応して，

　　ζ＝ｅｘｐ（２πｉ／ｐ）

として

　　τ(χ）＝Σχ(x)ζ^x　　　(x=1~p-1)

を指標χ(x)に属するガウス和と呼びます．すなわち，ガウス和はＦpに１のｐ乗根ζを添加した拡大体におけるχの１次結合です．

　また，指標χ(x)，φ(x)に対して，ヤコビ和

　　Ｊ(χ,φ)＝Σχ(x)φ(1-x)＝τ(χ）τ(φ)／τ(χφ)

が定義されます．前節の例ではφ＝χとなっていたことがおわかり頂けたでしょうか．ヤコビ和は本来は２つの指標から定まるものであって，ここでは簡単に

　　Ｊ(χ,χ)＝Ｊ(χ)

　　Ｊ(χ~,χ~)＝Ｊ(χ~)

と書いているのです．また，これらの大きさは

　　｜τ(χ）｜＝√ｐ

　　｜Ｊ(χ,φ)｜＝√ｐ

で与えられます．

　なお，ガウス和の定義はガンマ関数

　　Γ(s)＝∫(0,∞)ｘ^(s-1)ｅｘｐ(-x)ｄｘ

ヤコビ和はベータ関数

　　Ｂ(p,q)＝∫(0,1)ｘ^(p-1)（１−ｘ）^(q-1)ｄｘ＝Γ(p)Γ(q)／Γ(p+q)

と非常によく似ていています．ガンマ関数とベータ関数が兄弟分にあたるように，ガウス和とヤコビ和も兄弟分というわけです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝