まずは復習から．

　ｐ＝７のとき，ｘ^3＝ａを満たすＦ7の元ｘの個数を求めると，ａ＝０なら１個，ａ＝１，６なら３個，ａ＝２，３，４，５なら０個となりますが，その違いがどこからくるのか知るために，ここで有限体の復習をしておきましょう．

　有限体Ｆpの０以外の元をａとします．このとき，ａをｐ回足すとはじめて０になります．素数７を例にとって，Ｆ7でａ＝３を何回もたしてみると

　　３＋３＝６

　　３＋３＋３＝６＋３＝２

　　３＋３＋３＋３＝２＋３＝５

　　３＋３＋３＋３＋３＝５＋３＝１

　　３＋３＋３＋３＋３＋３＝１＋３＝４

　　３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＝４＋３＝０

このｐを有限体Ｆpの「標数」といいます．

　また，ａをｐ−１回掛けると１になります．Ｆ7において

　　ａ＼^n　　１　　２　　３　　４　　５　　６

　　　１　　　１　　１　　１　　１　　１　　１

　　　２　　　２　　４　　１　　２　　４　　１

　　　３　　　３　　２　　６　　４　　５　　１

　　　４　　　４　　２　　１　　４　　２　　１

　　　５　　　５　　４　　６　　２　　３　　１

　　　６　　　６　　１　　６　　１　　６　　１

最後の列はすべて１です．

　このように，ｐで割り切れない整数ａに対して，フェルマーの（小）定理

　　ａ^(p-1)＝１　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つというわけです．また，このことからａ^(p-2)がａの逆元となることも理解されます．

　　１／ａ＝ａ^(p-2)

Ｆ7では，

　　１／３＝３^5＝５，１／６＝６^5＝６

　この表において，１は１乗してはじめて１になりますが，２は３乗して，３は６乗して，４は３乗して，５は６乗して，６は２乗してはじめて１になります．何乗かして１になるとき，その最小のものを「位数」と呼びます．ｐ＝７のとき，ａ＝１，２，３，４，５，６の位数はそれぞれ１，３，６，３，６，２ですが，ここで位数として現れる数はすべて６＝７−１の約数です．一般にＦpの位数はｐ−１の約数となります．

　また，ｐと互いに素な整数ａがｐ−１乗してはじめて１になるとき，ａを「原始根」といいます．Ｆ7においては３，５が原始根です．

　Ｆ5においては

　　ａ＼^n　　１　　２　　３　　４

　　　１　　　１　　１　　１　　１

　　　２　　　２　　４　　３　　１

　　　３　　　３　　４　　２　　１

　　　４　　　４　　１　　４　　１

より２，３が原始根となります．

　任意の素数について原始根ｒは少なくとも１つ存在します．１つとは限らないため，原始根ｒの選び方は１通りではありませんが，１つ選んで固定します．そしてＦpにおける原始根ｒが与えられたとき，０以外のすべての元は，

　　ａ＝ｒ^i　　　（i=0〜p-2）

の形に表すことができます．ｉを（ｒに関する）「指数」と呼びます．Ｆpの０以外のすべての元はｒを生成元とする位数ｐ−１の巡回群というわけです．

　Ｆ7において，原始根ｒ＝３とすると

　　　ｉ　　：　０，１，２，３，４，５

　　ａ＝ｒ^i：　１，３，２，６，４，５

ですから，６の指数は３，１の指数は０ということになります．また，原始根としてｒ＝５を選ぶと

　　　ｉ　　：　０，１，２，３，４，５

　　ａ＝ｒ^i：　１，５，４，６，２，３

で，同様に６の指数は３，１の指数は０となります．

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【１】ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3 on Ｆp=1(mod3)

　前節より，３乗で表される数ｘ^3＝ａの解の個数が

　　指数が３の倍数のとき・・・・・３個

　　指数が３の倍数でないとき・・・０個

で与えられることが理解されます．

　ｐ＝１（ｍｏｄ３）の場合，Ｎpは複雑となるのですが，実は

　　ｘ^3＋ｙ^3＝１　　　（ｘ≠０，ｙ≠０）

の解の個数をＭpとおけば，

　　Ｎp＝９＋Ｍp

となることがわかっています．

　そこで，

　　Ｓ（ｕ）＝（ｕ＝ｘ^3を満たす解の個数）

　　Ｓ（ｖ）＝（ｖ＝ｙ^3を満たす解の個数）

とおくと，Ｆ7では

　　指数が３の倍数のとき・・・・・Ｓ(1)＝Ｓ(6)＝３

　　指数が３の倍数でないとき・・・Ｓ(2)＝Ｓ(3)＝Ｓ(4)＝Ｓ(5)＝０

で，ｕ＋ｖ＝１を満たす（ｕ，ｖ）の組は

　　（２，６），（３，５），（４，４），（５，３），（６，２）

ですから

　　Ｍ7＝Ｓ(2)Ｓ(6)+Ｓ(3)Ｓ(5)+Ｓ(4)Ｓ(4)+Ｓ(5)Ｓ(3)+Ｓ(6)Ｓ(2)＝０

より，Ｎ7＝９が得られるというわけです．

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　次に，

　　指数が３の倍数のとき・・・・・３個

　　指数が３の倍数でないとき・・・０個

と結びつけるために，１の原始３乗根

　　ω＝（−１＋√３）／２，ω~＝（−１−√３）／２

　　ω^2＝ω~，１＋ω＋ω^2＝０

を使うことにします．

　　ω^k＝０　　　（ｋ＝０　　ｍｏｄ３）

　　　　＝ω　　　（ｋ＝１　　ｍｏｄ３）

　　　　＝ω^2　　（ｋ＝２　　ｍｏｄ３）

ですから

　　１＋ω^k ＋ω^2k＝３　　　（ｋ＝０　　ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　＝０　　　（ｋ≠０　　ｍｏｄ３）

が成立します．１＋ω^k ＋ω^2kという式は指数ｋが３で割り切れるかどうかの指標になっているというわけです．

　Ｆpにおける原始根ｒが与えられたとき，０以外のすべての元は，

　　ａ＝ｒ^k　　　（k=0〜p-2）

で表されるのですが，このとき，

　　χ（ａ）＝ω^k，χ~（ａ）＝ω~^k＝ω^2k

と定めます．この指標は乗法的性質

　　χ(m)χτ(n)＝χτ(mn)

をもっています．

　するとＦ7（ｒ＝３）では

　　ａ　　：１　，２　，３　，４　，５　，６

　　ｋ　　：０　，２　，１　，４　，５　，３

　　χ(a) ：１　，ω^2，ω　，ω　，ω^2，１

　　χ~(a)：１　，ω　，ω^2，ω^2，ω　，１

　これより

　　ｘ^3＝ａなるｘが存在する←→χ(a)＝１，χ~(a)＝１

　　Σχ(a)＝Σχ(r^k)＝Σω^k＝０

　　Σχ~(a)＝Σχ(r^k)＝Σω^2k＝０

であり，

　　Ｓ（ｕ）＝１＋ω^k ＋ω^2k＝１＋χ(u)＋χ~(u)

　　Ｓ（ｖ）＝１＋ω^2k ＋ω^k＝１＋χ(v)＋χ~(v)

　ここで，

　　Ｊ(χ)＝Σχ(u)χ(v)

　　Ｊ(χ~)＝Σχ~(u)χ~(v)　　　（Σはu+v=1をわたる）

なる記号を使えば

　　Ｍp＝ｐ−８＋Ｊ(χ)＋Ｊ(χ~)

より

　　Ｎp＝ｐ＋１＋Ｊ(χ)＋Ｊ(χ~)

と表されます．

　Ｊ(χ)とＪ(χ~)はヤコビ和と呼ばれる複素数ですが，Ｆ7（ｒ＝３）の場合は

　　Ｊ(χ)＝χ(2)χ(6)+χ(3)χ(5)+χ(4)χ(4)+χ(5)χ(3)+χ(6)χ(2)

　　　　　＝２ω^3＋３ω^2＝−１−３ω

同様に

　　Ｊ(χ~)＝２＋３ω，

　　Ｊ(χ)＋Ｊ(χ~)＝１，Ｊ(χ)Ｊ(χ~)＝７

となります．

　このように，Ｊ(χ)＋Ｊ(χ~)は実数となり，また，

　　｜Ｊ(χ)｜^2＝Ｊ(χ)Ｊ(χ~)＝ｐ

　　｜Ｊ(χ)｜＝｜Ｊ(χ~)｜＝√ｐ

が成り立ちますから，ｐ＝１（ｍｏｄ３）のとき

　　ｐ＋１−２√ｐ＜Ｎp＜ｐ＋１＋２√ｐ

となることがわかります．Ｎpは各素数ｐごとにてんでんばらばらになっておらす，そこにはある秩序が存在しているというわけです．

　なお，

　　ｐ＋１−２√ｐ＜Ｎp＜ｐ＋１＋２√ｐ

という式は楕円曲線と有限体の関係においても登場しますので，それについてはコラム「楕円曲線と有限体」，「谷山予想・佐藤予想・ラマヌジャン予想」をご参照下さい．ワイルズも２０代になったばかりのデビューしたての頃，楕円曲線のゼータ関数についての仕事で数学界に衝撃を与えました．

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