今回のコラムでは

　　［参］中島匠一「数を数えてみよう」日本評論社

から題材をとって，有限体上のフェルマー曲線について調べてみることにしました．とはいってもすべてのｎについて計算することはできませんから，

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3

に限定することになるのですが，そこでは解の存在より解の個数の方が問題になるのです．

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【１】ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3 on Ｆp

　ｎ＝３の場合はオイラー（１７７０年）によって自然数解をもたないという証明が与えられましたが，今度は同じことを有限体について考えてみます．

　ｐ＝５では

　　ｘ　｜０，１，２，３，４

　　ｘ^3｜０，１，３，２，４

となり，任意のａに対してｘ^3＝ａを満たすｘが存在することがわかります．

　ｎ＝３では

　　（ｐ−ｘ）^3＝ｘ^3　　（ｍｏｄｐ）

が成り立たないので，半数が３乗剰余ということは保証されておらず，このように全数が３乗剰余ということもあり得るのです．

　この場合，

ｘ＼ｙ ０ １ ２ ３ ４

０ (0,0,0) (0,1,1) (0,2,2) (0,3,3) (0,4,4)

１ (1,0,1) (1,1,3) (1,2,4) (1,3,2) (1,4,1)

２ (2,0,2) (2,1,4) (2,2,1) (2,3,0) (2,4,3)

３ (3,0,3) (3,1,2) (3,2,0) (3,3,4) (3,4,1)

４ (4,0,4) (4,1,0) (4,2,3) (4,3,1) (4,4,2)

となって，(0,0,0)を除いた２４個の解で４個ずつ組になりますから

　　Ｎ5＝２４／４＝６＝５＋１

　ｐ＝７では

　　ｘ　｜０，１，２，３，４，５，６

　　ｘ^3｜０，１，１，６，１，６，６

となって，ｘ^3＝ａを満たすＦ5の元ｘの個数を求めると，ａ＝０なら１個，ａ＝１，６なら３個，ａ＝２，３，４，５なら０個となります．

ｘ＼ｙ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６

０ (0,0,0) (0,1,1) (0,2,1) (0,3,3) (0,4,1) (0,5,3) (0,6,3)

(0,1,2) (0,2,2) (0,3,5) (0,4,2) (0,5,5) (0,6,5)

(0,1,4) (0,2,4) (0,3,6) (0,4,4) (0,5,6) (0,6,6)

１ (1,0,1) (1,3,0) (1,5,0) (1,6,0)

(1,0,2)

(1,0,4)

２ (2,0,1) (2,3,0) (2,5,0) (2,6,0)

(2,0,2)

(2,0,4)

３ (3,0,3) (3,1,0) (3,4,0)

(3,0,5)

(3,0,6)

４ (4,0,1) (4,3,0) (4,5,0) (4,6,0)

(4,0,2)

(4,0,4)

５ (5,0,3) (5,1,0) (5,2,0) (5,4,0)

(5,0,5)

　　 (5,0,6)

　　６　　(6,0,1) (6,1,0) (6,2,0) (6,4,0)

　　　　　(6,0,5)

(6,0,6)

　(0,0,0)を除いた５４個の解で６個ずつ組になりますから

　　Ｎ7＝５４／６＝９≠７＋１

となって，Ｎp＝ｐ＋１が成り立ちません．

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　ｐ＝５とｐ＝７で答えのパターンが違っていましたが，一般の素数ｐに対しては解の数はどのようになるのでしょうか？　他の場合も調べてみると　

　　ｐ　　Ｎp 　　ｐ＋１

　　２　　３　　　　○

　　３　　４　　　　○

　　５　　６　　　　○

　　７　　９　　　　×

　　11　　12　　　　○

　　13　　９　　　　×

　　17　　18　　　　○

　　19　　27　　　　×

　この表より，ｐを３で割った余りが注目されます．

1)３で割り切れる素数は３しかなく，Ｎ3＝４である．

2)ｐ＝２（ｍｏｄ３）の場合，Ｎp＝ｐ＋１が成り立つ．

　→じつはｐ＝３（ｍｏｄ２）の場合，３乗で表される数ｘ^3＝ａはただひとつの解をもち，このことからすんなりＮp＝ｐ＋１が証明される．

3)ｐ＝１（ｍｏｄ３）の場合，Ｎpは複雑である．

4)すべての素数についてＮp≧３である．

　→３個の解は（０，１，１），（１，０，１），（１，ｐ−１，０）で，等号はｐ＝２の場合に限る．

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