正五角形の辺と対角線の長さの比が黄金比で，

　　φ^2＝φ＋１，φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８・・・

です．

　　√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

ですが，連分数展開を用いると

　　［１：１，１，１，．・・・］＝φ　　（黄金比）

と表すことができます．この連分数展開は幾何学的には「回転する正方形」の問題と関係しています．

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　すなわち，黄金長方形から正方形を取り除くと一回り小さな黄金長方形が現れてくる．黄金長方形も自己再現型図形としてよく知られている．回転する正方形の問題とはこのことを指しているのである．

　　ｘ：１＝１：（ｘ−１）　→　ｘ＝φ

　この曲線は，θがπ／２進む毎にｒの値がφ倍になるから，対数らせんｒ＝Ｂ^θ，Ｂ＝φの２／π乗を描く．また，フィボナッチ数列の隣り合う２項の比もφに収束する．　

　さらに，１の約数のことを単数と呼ぶ．

　　Ｚ［√２］→１＋√２，単数全体は±（１＋√２）^nに一致する

　　Ｚ［√３］→２＋√３，単数全体は±（２＋√３）^nに一致する

　同様の議論をＺ［φ］について行うと，

　　Ｚ［φ］→φ，単数全体は±φ^nに一致する

Ｚ［φ］の世界ではφは一番大切な単数なのである．

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