数論においてはどのような整数が２次形式で表現されるかというのは基本的な問題のひとつです．

　今回のコラムでは，２平方和定理，３平方和定理，４平方和定理の中で最も知られていない，３元２次形式に関するルジャンドルの定理「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」を取り上げてみます．

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【１】３平方和の定理（ルジャンドル，１７９８年）

　　「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」

　ｎ≠４^m（８ｋ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論としてこの結果を得ています．

［参］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）

　ｍ＝４ｋ＋３の形をした数は２つの平方数の和になりません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｋ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．

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【２】ガウスの定理

　　「どの正整数も３つの３角数の和として表される．」

　ガウスは１７９６年の日記に「わかった！　ｎ＝△＋△＋△」と書いていますが，それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味です．ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて，３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」を用いると「ｎ＝△＋△＋△」を簡単に示すことができます．

（証明）４^m（８ｋ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2と書けます．このとき，ｘ＝２ｐ＋１，ｙ＝２ｑ＋１，ｚ＝２ｒ＋１とおくと

　　ｎ＝ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２＋ｒ（ｒ＋１）／２

　一般に「ｍ角数定理」とは「すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる」というものです．この定理でｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します．ｍ＝５の場合が五角数定理「ｎ＝☆＋☆＋☆＋☆＋☆」の相当するわけですが，フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は，オイラー，ラグランジュ，ルジャンドルなどの研究を経て，１８１３年，コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました．ガウスはフェルマーの主張のひとつを証明したことになります．

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