４ｎ＋１型素数，４ｎ＋３型素数

　　５ｎ＋１型素数，５ｎ＋２型素数，５ｎ＋３型素数，５ｎ＋４型素数

もっと一般に，１次式

　　ａｘ＋ｂ型素数

は無限の存在することがわかっています（ディリクレの算術級数定理）．

　２次式，たとえば，

　　ｎ^2＋１型素数，ｎ^2＋２型素数

は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　指数式，たとえば，　

　　２^n＋１型素数（フェルマー素数），２^n＋３型素数，２^n−１型素数（メルセンヌ素数）

も無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　その差が２であるような素数のペア（ｐ，ｐ＋２）を双子素数と呼びます．小さな双子素数には（３，５），（５，７），（１１，１３），（１７，１９），・・・など，ちょっと大きなものでは（２２２７１，２２２７３），・・・などがあります．双子素数が無限に多く存在するかどうかは今のところわかっていません．

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋４）がともに素数となることは，どれかが必ず３で割れてしまうので（３，５，７）以外にはあり得ません．そこで，

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６）がともに素数となるとき，三つ子素数

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６，ｐ＋８）がともに素数となるとき，四つ子素数

と呼ぶことにします．これらも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　シンツェル仮説とは，それらをまとめて拡張した予想です．

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【１】ｎ^2＋１型素数に対する素数定理

　　１^2＋１＝２　　　　　（素数）

　　２^2＋１＝５　　　　　（素数）

　　４^2＋１＝１７　　　　（素数）

　　６^2＋１＝３７　　　　（素数）

　　８^2＋１＝６５　　　　（素数でない）

　１０^2＋１＝１０１　　　（素数）

　ｎ^2＋１型素数は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　数ｎ＝ｋ^2＋１が素数である確率は，おおよそ

　　１／ｌｏｇｎ・１／√ｎ

したがって，

　　πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．

　　Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））

　　ｎ^2＋１＝０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝１

　　ｎ^2＋１≠０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝−１

　　Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・

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【２】おまけ

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　４ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋１型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができる．

　　５ｎ＋２型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋３型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋４型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋５型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋７型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋５型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋７型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋１型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができる．

　　１２ｎ＋５型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋７型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋１１型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができる．

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