今回のコラムでは，以前取り上げた４５°切稜立方体（十八面体）ではなく，立方体に可変角切稜を施した五角十二面体についての諸計量を行います．その結果，五角十二面体の切稜角をある値に設定して削りとると正十二面体ができあがることを証明してみたいと思います．
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【１】五角十二面体
立方体に４５°切稜を施し，もとの立方体の表面に正方形面を残した場合，もとの立方体の１辺の長さを２，正方形面の１辺の長さをｄ（０≦ｄ≦２）とすると，
ｄ＝２・・・・・・・・・・・・・立方体
ｄ＝２（√２−１）・・・・・・・内接球をもつ１８面体(d=2*0.4142)
ｄ＝２（４√３−３）／１３・・・等稜１８面体(d=2*0.3022)
ｄ＝０．４・・・・・・・・・・・外接球をもつ１８面体
ｄ＝０・・・・・・・・・・・・・菱形十二面体
のように立方体と菱形十二面体との中間段階にある１８面体を作ることができます．立方体と菱形十二面体は単独で空間充填可能ですが，その中間段階のさまざまな面取り度合いの切稜１８面体は単独では空間充填できません．
このように４５°切稜立方体では，もとの立方体の表面を残した場合は四角形６面・六角形１２面からなる１８面体ができるのですが，切稜角を４５°とは限定せずに，たとえば立方体の東西南北天地面のうち，天地面に対しては東西方向の辺だけ（南北方向の辺は削らない），東西面に対しては南北方向の辺だけ（天地方向の辺は削らない），南北面は天地方向の辺だけ（東西方向の辺は削らない）を等距離等角度で切稜して，もとの立方体表面の名残りとして１本の稜だけが残るようにします．
このような立方体の可変角切稜をおこなうと，さまざまな五角十二面体ができあがります．この立体の面は不等辺５角形なのですが，切稜の角度を３０°くらいにすると正５角形に近くなっていくことがわかります．下図には切稜角の異なる２種類の５角１２面体を掲げます．
また，もとの立方体の表面の痕跡がないまったく新たに作られた頂点を結んでみると，５角１２面体は立方体に屋根をかけた形になっていることがみてとれます．つまり，これらの頂点は内接立方体の頂点であるのですが，このことは立方体の１２の稜を等角等距離で削ってできる５角１２面体一般の特徴といえます．
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【２】五角十二面体の計量
ここで，中川宏さんのコメントを紹介します．
「私が正１２面体を作る手がかりになったのは，正２０面体を作ろうとしてできた５角１２面体でした．その不等辺５角形のなかに正５角形を書いてみて切稜の角度を深くするとひょっとすると正５角形になるかもしれないと試してみたのでした．
添付の投影図形でｄは１から０までの可変量です．ｄ＝１のときは立方体，ｄ＝０のときは菱形１２面体となりますが，その中間の値ではさまざまな５角１２面体となります．
５角１２面体では辺ＡＢ，ＢＣ，ＡＥ，ＤＥは等しいのですが，それらとＣＤはイコールではありません．また角ＥＡＢと角ＡＢＣと角ＢＣＤもそれぞれ違います．４辺が等しいので当然ｄがある値の場合に５辺とも等しくなることが予想されますが，そのときにすべての内角が等しくなるかどうかは直感的に確信できることではないと思うのです．
立方体の可変角切稜によってできる５角１２面体の５辺が等しくなるときに同時にすべての内角が等しくなることを証明するというように問題を立て直すことが出来るのではないかと思うのですが，いかがでしょうか？
また，約３２度という正１２面体の切稜角は
一松信「正多面体を解く」東海大学出版会
p19にある58.2825256度を90度からひいた31.71･･･に基づいています．ただし，私の定規が実際にそうなっているかどうかは保証できませんが・・・．」
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この話をもう一度整理しておきます．もとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄとします（０≦ｄ≦１）．すると切稜角φとの関係は
ｔａｎφ＝１−ｄ
で表されます．
切削してできる五角形面の頂点をｘｙｚ座標で表すと（０，１，ｄ）の巡回置換（１，ｄ，０），（ｄ，０，１）を頂点にもつことがわかります．この３点の重心は
（（１＋ｄ）／３，（１＋ｄ）／３，（１＋ｄ）／３）
ですからこの３点を結ぶと正三角形になること，また，もとの立方体の表面の痕跡がないまったく新たに作られた頂点はこの３点から等距離にあることから
（Ｄ，Ｄ，Ｄ）
と表されることも理解されます．
すなわち，五角面の頂点の座標は
Ａ（０，１，ｄ）
Ｂ（−Ｄ，Ｄ，Ｄ）
Ｃ（−ｄ，０，１）
Ｄ（ｄ，０，１）
Ｅ（Ｄ，Ｄ，Ｄ）
ここで，
Ｄ＝１／（２−ｄ）
と計算されます．
５辺が等長となるための条件は，辺ＡＥ＝辺ＣＤより
Ｄ^2＋（Ｄ−１）^2＋（Ｄ−ｄ）^2＝４ｄ^2 → ｄ^2−３ｄ＋１＝０
ですから，これを解いて
ｄ＝（３−√５）／２，Ｄ＝（−１＋√５）／２
また，
ｃｏｓ（∠ＣＤＥ）＝−（Ｄ−ｄ）／｛Ｄ^2＋（Ｄ−１）^2＋（Ｄ−ｄ）^2｝^(1/2)
ｃｏｓ（∠ＤＥＡ）＝｛Ｄ（Ｄ−ｄ）＋Ｄ（Ｄ−１）＋（Ｄ−ｄ）（Ｄ−１）｝／｛Ｄ^2＋（Ｄ−１）^2＋（Ｄ−ｄ）^2｝
ｃｏｓ（∠ＥＡＢ）＝｛−Ｄ^2＋（Ｄ−１）^2＋（Ｄ−ｄ）^2｝／｛Ｄ^2＋（Ｄ−１）^2＋（Ｄ−ｄ）^2｝
ｄ＝（３−√５）／２のとき，これらが等角Θとなることも証明され，
ｃｏｓΘ＝（１−√５）／４
と計算されます．
ここで，θ＝１８°（５θ＝９０°）とおくと
ｃｏｓ５θ＝１６ｃｏｓ^5θ−２０ｃｏｓ^3θ＋５ｃｏｓθ＝０
より
ｃｏｓ^2θ＝（５＋√５）／８
また
ｃｏｓ６θ＝ｃｏｓ（５θ＋θ）＝−ｓｉｎθ＝（１−√５）／４
となり，
Θ＝６θ＝１０８°
すなわち，Θが正五角形の内角に一致することもわかります．
さらに，切稜角は
ｔａｎφ＝１−ｄ → φ＝３１．７１７５°
であることが割り出されます．このことは正十二面体の二面角δは５８．２８２５°×２ですので，立方体を削って正十二面体を作る場合の切稜角を
９０°−５８．２８２５°＝３１．７１７５°
とすればよいことに一致するというわけです．
このように削った多面体は正十二面体となるための条件を満たし，
(1)正十二面体の六角形を長くしたような投影図形において短い辺を１とすると，長い辺が黄金比φになること
(2)正十二面体が立方体に外接し五角形の一辺を１とすると，外接立方体の一辺はφ^2であること
(3)正十二面体の外接球の半径（＝外接立方体の一辺の１／２でもある）が正五角形の外接円の半径のφ倍であること
などを示すことができます．
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【３】Ｓ^3／Ｖ^2比の最小化
Ｄ＝１／（２−ｄ）
とおくと，
五角形面の面積：Ｓ5＝ｄ｛（ｄ−１）^2＋１｝^(1/2)＋｛ｄ^2＋１＋（ｄ−１）^2｝^(1/2)｛（Ｄ−ｄ／２）^2＋（Ｄ−１／２）^2＋（Ｄ−（ｄ＋１）／２）^2｝^(1/2)
原点から正方形面までの距離：Ｈ5＝１／｛（ｄ−１）^2＋１｝^(1/2)
以上により
表面積：Ｓ＝１２Ｓ5
体積：Ｖ＝ＳＨ5／３＝４Ｓ5Ｈ5
が得られます（０≦ｄ≦１）．
さて，立体図形のＳ^3／Ｖ^2は平面図形のＬ^2／Ａの相当していて，「等周比」あるいは「等周定数」と呼ばれます．ここではＳ^3／Ｖ^2が最小値をとるｄを求めたいと思います．
（Ｓ^3／Ｖ^2）’＝０ → ３Ｓ’Ｖ−２ＳＶ’＝０
より，Ｓ^3／Ｖ^2が最小値をとるｄを求めると
ｄ＝（３−√５）／２
となって，５角１２面体が正十二面体となる条件と一致しました．
すなわち，等周比の点からいうと正十二面体が最も球に近い５角１２面体ということになりますが，さらにグラフを描くとｄ＝１（立方体）→ｄ＝（３−√５）／２（正十二面体）で球に近づき，ｄ＝（３−√５）／２（正十二面体）→ｄ＝０（菱形十二面体）で球から遠ざかる様子が理解されます．なお，この計算は阪本ひろむ氏に確認してもらいました．
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【４】五角十二面体（第２種）
五角十二面体の木工模型で削るべきところを残し，残すべきところを削ると凹五角形面をもつ十二面体ができあがります．この立体図形は切稜法の裏にあたり，さしづめ星型の切稜立方体というところです．五角十二面体同様，４つの三回対称軸と３つの三回対称軸からなる回転対称性をもっています．すなわち，正四面体と同じ回転対称系となるというわけです．
この図形をみて，スイスのネフ社が製作している積み木によく似ていると感じました．ネフ社のものは天地面を東西方向と南北方向に十字型に削っているのですが，積み木の原理としては立方体による空間充填のようです．くぼみをつけることによって高く積み上げても安定するよう工夫したものと思われます．
中川さんの意見としては「この方が積木にむいているのかもしれませんが，ただ，これは丸鋸盤による手作業では危険が多くなじみません．背中が三角形に高くなったベルト状のグラインダーで削るのが工法としては正解だろうと思います．」ということでした．
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【５】正二十面体の計量
正十二面体の場合と同様に，もとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄとします（０≦ｄ≦１）．すると切稜角φとの関係は
ｔａｎφ＝１−ｄ
で表されます．
正十二面体ではもとの立方体の表面の痕跡がないまったく新たに作られる頂点がありますが，正二十面体ではすべての頂点がもとの立方体の表面上にあります．ここで，三角面の頂点の座標を
Ａ（０，１，ｄ）
Ｂ（−ｄ，０，１）
Ｃ（ｄ，０，１）
Ｄ（０，ｄ，０）
とおきます．
ＡＢＣ面が正三角形となるための条件は，辺ＡＣ＝辺ＢＤより
ｄ^2＋（ｄ−１）^2＋１＝４ｄ^2 → ｄ^2＋ｄ−１＝０
ですから，これを解いて
ｄ＝（√５−１）／２
切稜角は
ｔａｎφ＝１−ｄ → φ＝２０．９０５２°
と計算されます．
また，三角形ＡＣＤにおいて
Ａ（０，１，ｄ）
Ｃ（ｄ，０，１）
Ｄ（１，ｄ，０）
ですから
辺ＡＣ＝辺ＣＤ＝辺ＤＡ＝｛ｄ^2＋（ｄ−１）^2＋１｝^(1/2)
すなわち，三角形ＡＣＤも正三角形です．
次に，正三角形ＡＣＤが切頂面であることを証明します．
ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＤ＝｛ｄ^2＋１｝^(1/2)
より３点Ａ，Ｃ，Ｄは原点Ｏから等距離にあり，ＡＣＤ面の重心Ｇと原点Ｏを結ぶ線はＡＣＤ面と直交することがわかります．
また，重心Ｇは
（（１＋ｄ）／３，（１＋ｄ）／３，（１＋ｄ）／３）
したがって，重心Ｇは原点Ｏと（１，１，１）を結ぶ線上にあることから正三角形ＡＣＤが切頂面であることが理解されます．
ちなみに（１，１，１）はＡＣＤ面の法線ベクトルですが，ＡＣＤ面の単位法線ベクトルｐ↑は
ｐ↑＝（１／√３，１／√３，１／√３）
ですから，ＡＣＤ面とｘｙ平面（ｙｚ平面，ｚｘ平面）のなす角（切頂角）は π／２−ａｒｃｃｏｓ（１／√３）
＝ａｒｃｔａｎ（１／√２）＝３５．２６４４°
となって，切頂定規（１：√２：√３）が必要になるというわけです．
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