【１】ピタゴラス三角形

　直角三角形では，斜辺をｃ，他の二辺をａ，ｂとすると，ピタゴラスの定理「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2」が成り立つことはよく知られています．特に，三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます．３元２次の不定方程式ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），（２０，２１，２９），（１２，３５，３７），（９，４０，４１），・・・などがその解です．

［定理］５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・は４で割ると１余る素数です．４で割ると３余る素数や素数２はそのようになりません．

　ピタゴラス三角形は無限にあり，その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として

　　ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）

が形も簡単で広く用いられています．

　　｛（ｎ^2−１）／２｝^2＋ｎ^2＝｛（ｎ^2＋１）／２｝^2

　　（ｎ^2−１）^2＋（２ｎ）^2＝（ｎ^2＋１）^2

のように文字を一つだけ使ったのでは，ピタゴラス三角形全部をもれなく表す公式は作れませんが，二つの文字を使った公式

　　（ｍ^2−ｎ^2）^2＋（２ｍｎ）^2＝（ｍ^2＋ｎ^2）^2

では全部を表すことができます．逆に，この式から４より大きい平方数は常に２つの自然数の平方の差として表されることがわかります．

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【２】アイゼンシュタイン三角形

　ピタゴラス三角形とよく似た三角形に三辺の長さが整数であって，二辺ａ，ｂのあいだの角が１２０°である鈍角三角形があります．一松信先生はこの三角形をアイゼンシュタイン三角形と呼んでいますが，この三角形はピタゴラスの定理の拡張である余弦定理ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ・ｃｏｓＣより，

　　ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2

を満たします．

　この一般解は

ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝ｋ（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）

と表現でき，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，５，７），（７，８，１３），（５，１６，１９），（１１，２４，３１），（７．３３，３７），（１３，３５，４３），・・・など無限に存在します．

［定理］７，１３，１９，３１，３７，４３，・・・は３で割ると１余る素数です．３で割ると２余る素数はそのようになりません．

　ディオファントスはａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2を満たすａ，ｂ，ｃをとり，（ｍ，ｎ）＝（ｃ，ａ），（ｃ，ｂ），（ｃ，ａ＋ｂ）の三組からは同一面積（ａ＋ｂ）ａｂｃの直角三角形ができることを示しています．

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