ｎ次元正単体，正軸体，超立方体を基本単体に分割して，外接球上に投影する．これは平面を鏡映三角形で埋めつくす問題を一般次元の球面に拡張したもので，R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．

　R^8の標準基底をｅ1，・・・，ｅ8とすると，Ｅ8型ルート系は，

　　Φ＝｛ｅ1−ｅ2，・・・，ｅ7−ｅ8，ｅ0−ｅ1−ｅ2−ｅ3｝

のように求まります．ルート系の分類は，それ自体大変面白いものなのだそうですが，既約ルート系の同型類には，ＡからＧまでのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっています．

　ルートは鏡映を与えるベクトルとして理解することができるのですが，８次元ユークリッド空間において，８次元単体（４面体の拡張）を鏡映したものからなるモザイク模様に対してベクトルの集合を考えることによって，Ｅ8型ルート系が得られるというわけです．

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　その際，正軸体と超立方体の基本単体は同じ球面単体として投影されるのですが，ラベルの付け方は逆になります．

　　正軸体：　０，　　１，　　２，・・，　　　ｋ，・・，ｎ−２，ｎ−１

　　立方体：ｎ−１，ｎ−２，ｎ−３，・・，ｎ−ｋ−１，・・，１，　０

　ｎ次元正単体のｋ次元胞の数はｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）ですから，ｍ次元胞に含まれるｋ次元胞の数は（ｍ＋１，ｋ＋１）です．双対を考えて，ｍ＜ｋのときは，ｋ次元正単体の含むｍ次元胞の数は

　　（ｋ＋１，ｍ＋１）

個になります．

　ここで，

　　　　　　ｋ　　　　　→　　ｎ−ｋ−１

　　　　　　ｍ　　　　　→　　ｎ−ｍ−１

と置き換えると，

［１］ｎ次元正単体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｋ）は，双対を考えて，ｎ−ｋ次元胞内のｎ−ｍ次元胞と同数，

　　（ｎ−ｋ，ｎ−ｍ）

が得られます．

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　また，ｎ次元正軸体については，ｆk＝２^(k+1)（ｎ，ｋ＋１），ｎ次元超立方体では，ｆk＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）です．正軸体のｍ次元胞に含まれるｋ次元胞の数は２^(k+1)（ｍ，ｋ＋１）です．双対を考えて，ｍ＜ｋのときは，ｋ次元正単体の含むｍ次元胞の数は

　　２^(k-m)（ｋ，ｍ）

個になります．

　ここで，

　　　　　　ｋ　　　　　→　　ｎ−ｋ−１

　　　　　　ｍ　　　　　→　　ｎ−ｍ−１

と置き換えると，

［２］ｎ次元正軸体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｋ）は，２項係数を使って，

　　２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｎ−１−ｍ）＝２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）

です．

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