３次元の棒材・接点の空間骨組み（面には堅い板が使われていないものとする）ではどうだろうか？　今回のコラムでは，３次元骨組みを扱う．

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　一般に，ｖ頂点を抑え込むのに必要な最少の棒材数は

　　ｅ＝３ｖ−６

である．

　各関節が３次元的（ユニバーサルジョイント）の場合はどうなるのだろうか？

［Ｑ］ユニバーサルジョイントでつながれた，ｎ×ｍ格子のすべての格子に筋交いを１本ずついれると剛性は保たれるだろうか？

［Ａ］３次元骨組みにおいて，ｖ頂点を抑え込むのに必要な最少の棒材数は

　　ｅ＝３ｖ−６

である．

　ｎ×ｍ格子のすべてに筋交いを１本ずついれた場合の格子点数と辺数は

　　ｖ＝（ｎ＋１）（ｍ＋１）

　　ｅ＝ｎ（ｍ＋１）＋ｍ（ｎ＋１）＋ｎｍ

　したがって，不足している辺数は

　　３ｖ−６−ｅ＝２（ｎ＋ｍ）−３

　１×１格子の場合であっても対角線に棒材を追加しなければならない．

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［Ｑ］ユニバーサルジョイントでつながれた，ｎ×ｍ格子のすべての格子に筋交いを２本ずついれると剛性は保たれるだろうか？

　ｎ×ｍ格子のすべてに筋交いを２本ずついれた場合の格子点数と辺数は

　　ｖ＝（ｎ＋１）（ｍ＋１）

　　ｅ＝ｎ（ｍ＋１）＋ｍ（ｎ＋１）＋２ｎｍ

　したがって，不足している辺数は

　　３ｖ−６−ｅ＝２（ｎ＋ｍ）−３−ｎｍ＝１−（ｎ−２）（ｍ−２）

　ｎ＞２かつｍ＞２の格子ならば剛性は損なわれない．１×１格子でも同様．しかし，それ以外では剛性を保つことができない．

　下から２番目の図では不足している本数１，逆に一番下の図は３本余分である．しかし，２次元的な関節の場合とは違って，

［Ｑ］ｎ×ｍ格子の筋交いをどこに配置すべきか？

の解は知られていない．

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