先日，わが家の子供たちのために「ポリドロン」という造形玩具を購入しました．この玩具には等しい長さの辺をもつ三角形・四角形・五角形・六角形の各辺に蝶番がついていて，この中の２つを組み合わせた面同士のなす角度を自由自在に動かすことができます．このような特長から正多面体模型や準正多面体模型を作ることができるのですが，今回のコラムでは正三角形だけを繋いで「デルタ多面体」を作ってみることにしました．

　すべての面が正三角形で構成されている立体をデルタ多面体（正三角面体）といいます．結論を先にいうと，正３角形ばかりを集めると４面体から２０面体まで，１８面体以外の８種類すべての偶数多面体ができあがります．そのうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体にも分類されるのですが，デルタ多面体はそれらを含めて全部で８種類あることがわかりました．逆にいうと，もし多面体の各面が正三角形ならば８つの多面体の中のどれかひとつであるということになります．

　同様に，正方形１種類では立方体のみ，正５角形１種類では正１２面体のみが得られ，正６角形以上の正多角形ばかりでは凸多面体はできません．結局，１種類の正多角形でできる凸多面体は合計１０種類あることになります．

　「ポリドロン」によるデルタ多面体の構成では

　　佐藤耕太郎（小学４年生）

　　佐藤一麦　（小学２年生）

の協力を得ました．また，「ポリドロン」は東京書籍がその取り扱い店となっています．

　　連絡先：tel:03-5390-7513,fax:03-5390-7409（大山茂樹）

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【１】３次元の正多面体

　３次元正多面体が５種類あって５種類しかないことは，オイラーの多面体定理（ｖ−ｅ＋ｆ＝２）と握手定理（正多面体の１つの頂点に集まる面の形と数をｐ，ｑとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ）から簡単に証明できます．手始めとして，正多角形による平面充填問題を考えてみることにしましょう．

　正多角形は無限に多く存在しますが，それでは，

（問）互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるでしょうか？

　この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明されます．

（答）正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形では，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会するとすると，正ｐ角形の一つの内角は２（１−２／ｐ）×９０°であり，一つの頂点の回りの内角の和はこれがｑ個集まって四直角ですから，

　　２ｑ（１−２／ｐ）＝４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＝１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

あるいは

　　λ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２＝０

で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかありません．したがって，平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３つだけです．このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．

　２次元の平面の中に正多角形は無限に多くあるのに反して，３次元の空間には無限に多くの正多面体は存在しません．平面充填形は，面数が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますが，平面充填形の場合と同様にして，正多面体の各面を正ｐ角形，各頂点にｑ面が会するとすると，頂点の周囲は４直角未満ですから，不等式

　　２ｑ（１−２／ｐ）＜４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　（ｐ−２）（ｑ−２）＜４

が正多角形となる必要条件です．

　このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solid）とも呼ばれています．

　　λ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２＞０

　　ｖ＝２／ｑλ，ｅ＝１／λ，ｆ＝２／ｐλ

はそのための必要条件ですが，十分条件を得るには実際に構成してみることが要求されます．ご存知のように５種類とも実現可能で，さらにこれらは各面が正ｐ角形，各頂点が正ｑ角錐の凸正多面体になっています．

　平面充填形はλ＝０の場合にあたっているので，広義の正多面体と考えることができます．また，広義の正多面体というと星形正多面体があります．凹正多面体にはケプラー（１６１０年）とポアンソ（１８０９年）の発見した４種類の星形正多面体がありますが，このことは上記の方法では証明できません．

　また，正多面体の変換群は，３種類の回転対称性：

　　正４面体群＝Ａ4（４個の要素からなる偶置換全体＝交代群）

　　立方体（正８面体）群＝Ｓ4（４個の要素からなる置換全体）

　　正１２面体（正２０面体）群＝Ａ5（５個の要素からなる偶置換全体）

に限られます．これらの多面体を自分自身に移す空間の運動がそれぞれ４！／２＝１２，４！＝２４，５！／２＝６０個あるという意味なのですが，コーシーは星形正多面体を定める証明に変換群を用いています（１８１１年）．

　なお，３次元空間の回転対称性には，この他に，正ｎ角錐のもつ巡回群Ｃnと正ｎ角柱のもつ二面体群Ｄnがあります．桜の花はＣ5，雪の結晶はＤ6というわけです．

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【２】デルタ多面体（必要条件）

　３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．

　また，正則な多面体とはその面が正多角形で，どの面にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ

でしたが，正則とは限らない一般の多面体では

　　Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，

　　Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

となります．

　ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから

　　３ｆ＝２ｅ　　　（ｆは偶数）

　　３ｖ≦２ｅ≦５ｖ

これをオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

に代入すると

　　６≦ｅ≦３０

　これより

　　４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）

が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．

　　　ｆ　　　　　　ｅ　　　　　　ｖ

　　　４　　　　　　６　　　　　　４

　　　６　　　　　　９　　　　　　５

　　　８　　　　　１２　　　　　　６

　　１０　　　　　１５　　　　　　７

　　１２　　　　　１８　　　　　　８

　　１４　　　　　２１　　　　　　９

　　１６　　　　　２４　　　　　１０

　　１８　　　　　２７　　　　　１１

　　２０　　　　　３０　　　　　１２

　３次元では，オイラーの多面体公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

以外に

　　ｆ≦２ｖ−４，ｖ≦２ｆ−４

を満たせばよいことが証明されています（シュタイニッツ，１９０６年）．デルタ多面体では，これ以上面数ｆを大きくできないという

　　ｆ≦２ｖ−４

の上限に達していることも理解されます．

　なお，これらの式の頂点ｖと面ｆの対称性により，ｆ面凸多面体とｖ点凸多面体は同数になるのですが，「４面体は４つの頂点と４つの面から構成されるので，頂点数を加えていうと，４点４面体である．５面体には４角錐（５点５面体）と３角柱（６点５面体）がある．６面体には５点６面体が１種類，６点６面体，７点６面体，８点６面体が２種類ずつの合計７種類ある．以下，７面体には３４種類，８面体には２５７種類，９面体には２６６種類ある．

　見方を変えて，凸多面体を頂点数で分類すると，４点多面体は１種類，５点多面体は２種類，６点多面体は７種類，７点多面体は３４種類，８点多面体は２５７種類，９点多面体は２６６種類，１０点多面体は３２３００種類ある．」・・・両者で同じ数値が出現していることに気づかれたかと思います．

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【３】デルタ多面体の構成（十分条件）

　デルタ多面体の必要条件はわかりましたが，十分条件を得るには実際に構成してみることになります．正４面体は正三角形の上の単角錐，正８面体は正方形の上の重角錐です．

　また，アルキメデスの正角柱（上下の底面が正多角形で，側面がすべて正方形であるもの）を少しひねって，側面をすべて正三角形にしたものをアルキメデスの反角柱と呼びます．正２０面体は側面が１０個の正三角形からなる五角反柱の上下の面に正五角錐をつけると構成することができます．

　デルタ４面体，デルタ１０面体はそれぞれ正三角形の上の重角錐，正五角形の上の重角錐としてできあがります．

　重角錐として構成できるのはここまでで，デルタ１２面体からは角錐の間に正三角形からなる帯をつけて，角錐の傘で上下からフタをすることになります．まず最初に，６個の正三角形からなる三角反柱の帯を作ってみたところ，これは正八面体となるのですが，そこの上下に正三角形のフタをすると正八面体そのものです．そこで，三角反柱の帯に正三角錐でフタをすると，正八面体と正四面体の二面角は互いに補角ですから平行六面体となってしまいます．これは空間充填形となるのですが，デルタ多面体とはなりません．

　次に，８個の正三角形からなる四角反柱の帯を作ってみました．この場合，上下のフタとしては正二角錐（２個の正三角形を辺同士で繋いだものをこう呼ぶことにする）と正四角錐が可能になるのですが，「ポリドロン」では四角反柱の帯が剛性体ではなく変形可能で，これらのいずれも上下の面にうまくはめ込むことができました．正二角錐２個をはめ込むとデルタ１２面体，正二角錐と正四角錐ではデルタ１４面体，正四角錐２個をはめ込むとデルタ１６面体となります．

　このうち，デルタ１４面体は側面が正方形の正三角柱（アルキメデスの正角柱）の側面に正四角錐３個をはめ込んだ立体とみることもできて，きれいな対称性を示しています．

　次に１０個の正三角形からなる五角反柱の帯ということになるのですが，この場合，正五角錐のフタだけが可能になって，正二十面体ができ上がります．こうしてデルタ１８面体は構成不可能であることがわかりましたが，十分条件を満たさないことを直接幾何学的に証明できるかどうかまではわかりませんでした．

　結論をまとめますと，デルタ多面体（正三角面体）は正４面体，正８面体，正２０面体も含めて全部で８種類あります．面数の少ない順に並べると４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０面体で，デルタ１８面体は存在しません．なお，これらは１９４２年にフロイデンタールによって決定されたようです．

　　　ｆ　　　　　　ｅ　　　　　　ｖ

　　　４　　　　　　６　　　　　　４　　　　　○

　　　６　　　　　　９　　　　　　５　　　　　○

　　　８　　　　　１２　　　　　　６　　　　　○

　　１０　　　　　１５　　　　　　７　　　　　○

　　１２　　　　　１８　　　　　　８　　　　　○

　　１４　　　　　２１　　　　　　９　　　　　○

　　１６　　　　　２４　　　　　１０　　　　　○

　　１８　　　　　２７　　　　　１１　　　　　×

　　２０　　　　　３０　　　　　１２　　　　　○

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【補】その他の多面体

［１］一様多面体

　準正多面体の拡張として，一様多面体という概念があります．面が正則（正多角形・星形正多角形），頂点が等価（すべての頂点の周りが一定）である多面体ですが，１９５４年，コクセターらはプラトン立体５種類，アルキメデス立体１３種類，ケプラー・ポアンソの星形多面体４種類，それ以外の５３種類を併せて７５種類あると発表しました．２０年あまり後に，スキリングがコンピュータを使うことによってその証明を与えました．

［２］ザルガラー多面体（正多角面体）

　また，一様多面体とは別の図形ですが，１９６６年，ザルガラーは正多角面体（すべての面が正多角形である凸多面体）は正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在することを証明しました．これもコンピュータの手を借りることで解決されました．

［３］菱形多面体

　ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．

　なお，菱形平行６面体（菱面体）には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，各面の菱形の対角線の長さの比が黄金比１：１．６１８［＝（√５＋１）／２］の黄金六面体です．細めで尖ったほうがacute ，太めで平たいほうがobtuse と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体，５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．

　２種類の菱面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができるのですが，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．

［４］平行多面体

　平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，３次元格子から決まる本質的なボロノイ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体（平行６面体を含む），６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかありません．

　６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられます．

［５］星形正多角形と雪型正多角形

　正多角形の辺を延長すると星形の正多角形が得られますが，そのとき，辺が一連になって一つの多角形を作る場合と２つ以上の多角形に分かれる場合があります．前者を星形正多角形，後者を雪型多角形といいます．

　正５角形からは星形（ソロモンの星）が，正６角形からは雪型（ダビデの星）が得られます．ダビデの星はイスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされています．また，ダビデはソロモン王の父ですが「ソロモンの指輪」は名著として定評があるのでご存知の方も多いと思われます．

［６］星形正多面体と雪型正多面体

　星形正多面体が４種類あることについてはすでに言及したとおりですが，一方，２つの正４面体を逆向きに抱き合わせた星形８面体「ケプラーの８角星」は，２４面すべてが正三角形よりなるものの，星形正多面体には通常加えられず，正多面体からも除外されます．

　ケプラーの８角星は雪型正多面体（複合正多面体）に分類されるのですが，複合多面体とは，いくつかの多面体を中心がすべて一致するように重ね合わせたものであって，多面体が同じくらいの大きさならば，互いに交わったり，ある面が他の面を突き抜けたりします．雪型正多面体は全部で５種類あり，ケプラーの「星形８面体」は最も簡単なものとなっています．

（問）同じ大きさの正３角形２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正３角形に重ねると，星形の外側と内側にそれぞれ６角形ができる．それでは，同じ大きさの正４面体２個を重ねた場合，その外側と内側にはどのような立体ができるだろうか？

　この問題はダビデの星の３次元版で，同じ大きさの正４面体２個による屋根瓦状の相貫体にはケプラーの８角星という名前がつけられています．最も簡単な複合多面体なので，これが頭の中でイメージできれば答は簡単ですが，勘の働きにくい問題です．

（答）正８面体を芯として，このとき，ケプラーの８角星の頂点は立方体の頂点をなすというのが正解です．

［７］複合正多面体

　同じ正多面体を中心が重なるように合わせたもので，正４面体を２つ，屋根瓦状にあわせたケプラーの「星形８面体」は最も簡単なものです．このとき，頂点は立方体の頂点をなします．残りの４つは，以下のものになります．

　　正４面体を５つあわせたもの（頂点は正１２面体）

　　正４面体を１０個あわせたもの（頂点は正１２面体）

　　立方体を５つあわせたもの（頂点は正１２面体）

　　正８面体を５つあわせたもの（頂点は正２０面体）

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