三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．

［Ｑ１］縮小三角形がもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

　一松信先生はこの問題を「重心座標」を使って計算された．

［１］主要な点の重心座標はＤ（０，λ，１），Ｅ（１，０，λ），Ｆ（λ，１，０）

直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの方程式はそれぞれｙ／λ＝ｚ，ｚ／λ＝ｘ，ｘ／λ＝ｙ．これらの交点としてＰ（λ，１，λ^2），Ｑ（λ^2，λ，１），Ｒ（１，λ^2，λ）　　　（いずれも重心座標の比のみ）

　ΔＰＱＲの面積／ΔＡＢＣの面積＝［λ，１，λ^2］／（λ^2＋λ＋１）^3

　　　　　　　　　　　　　　　　　［λ^2，λ，１］

　　　　　　　　　　　　　　　　　［１，λ^2，λ］

＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）

　　　λ＝２なら１／７，λ＝３なら４／１３

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［２］ΔＰＱＲの辺の長さは重心座標の長さの公式から次のようになる．

　　ＰＱ^2＝１／（λ^2＋λ＋１）^2×［λ−λ^2，１−λ，λ^2−１］のノルム

　＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）×［−λ，１，λ＋１］のノルム

　＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）×［ａ^2（λ＋１）＋ｂ^2λ（λ＋１）−ｃ^2λ］

　同様に

ＱＲ^2＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）×［−ａ^2λ＋ｂ^2（λ＋１）＋ｃ^2λ（λ＋１）］

ＲＰ^2＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）×［ａ^2λ（λ＋１）−ｂ^2λ＋ｃ^2（λ＋１）］

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［３］ΔＰＱＲがΔＡＢＣと相似とすると，面積の関係から長さの相似比は　　　（λ−１）／√（λ^2＋λ＋１）

である．したがって，ＰＱ^2，ＱＲ^2，ＲＰ^2は

　　ａ^2，ｂ^2，ｃ^2／（λ^2＋λ＋１）

のいずれかに等しくなる．すなわち，共通因子を除いて，分子の［・・・］の内の量が

　　（ａ^2，ｂ^2，ｃ^2）（λ^2＋λ＋１）

のいずれかに等しくなる．

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［４］その形で方程式を作るが，同じ向きに相似なとき，それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

　　ａ^2（λ＋１）＋ｂ^2λ（λ＋１）−ｃ^2λ＝ａ^2（λ^2＋λ＋１）

　　−ａ^2λ＋ｂ^2（λ＋１）＋ｃ^2λ（λ＋１）＝ｂ^2（λ^2＋λ＋１）

　　ａ^2λ（λ＋１）−ｂ^2λ＋ｃ^2（λ＋１）＝ｃ^2（λ^2＋λ＋１）

→−ａ^2−λｂ^2＋（λ＋１）ｃ^2＝０

　　（λ＋１）ａ^2−ｂ^2−λｃ^2＝０

　−λａ^2＋（λ＋１）ｂ^2−ｃ^2＝０

３式を加えると，両辺とも同じ（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（λ^2＋λ＋１）になるので，この３式は独立ではなく，ａ＝ｂ＝ｃを得る．

　右辺を巡回置換してもいずれも同様に計算してａ＝ｂ＝ｃに達する．すなわち自明な正三角形の場合以外にはあり得ない．

　裏返しに相似なとき，上述のＰＱ^2，ＱＲ^2，ＲＰ^2の式はそのままにして，第２式，第３式の右辺のｂ^2，ｃ^2を入れ換える．

第１式→−ａ^2−λｂ^2＋（λ＋１）ｃ^2＝０

第２式は右辺がｃ^2（λ^2＋λ＋１）であるから，整理すると

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

となるが，これは第１式と同値である．

第３式は右辺がｂ^2（λ^2＋λ＋１）であるから，整理すると

　　−ａ^2−λｂ^2＋（λ＋１）ｃ^2＝０

となって，これも第１式と同値である．

　すなわち，この場合には相似条件式が同一の条件

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

になる．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．そしてそれが必要十分条件であり，実際に縮小三角形がもとの三角形と裏返しに相似になる．

例：λ＝２のとき，ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝√３（正三角形の半分）

同様にａ，ｂ，ｃを巡回置換すれば

　　−（λ＋１）ａ^2＋ｂ^2＋λｃ^2＝０

　　λａ^2−（λ＋１）ｂ^2＋λｃ^2＝０

という場合が生ずるが，これは単にａ，ｂ，ｃの順序を変えた（三角形を回した）ものにすぎない．

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