（その７）の宿題を片づけたい．最初に，コラム「正三角形の縮小三角形」に掲げた，もとの正三角形の１辺の長さを１とすると，縮小三角形の１辺の長さＰＱは

　　（λ−１）／√（λ^2＋λ＋１）

を利用することを考えたのだが，もっと簡単な方法が思い浮かんだ．

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　正三角形の３つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．３匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正三角形になり，元の正三角形の中心で出会うことになる．

［Ｑ］犬のたどる等角らせんｒ＝Ｂ^θにおいて，Ｂの値は？

［Ａ］一般に与えられた三角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝３ｋ^2−３ｋ＋１＝３（ｋ−１／２）^2＋１／４

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／４　　（４等分）

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝７　　　　（７等分）

となる．

　０＜ｋ＜１のときはもとの三角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもとの三角形より大きくなり，ｋ＝２のときには７倍になるが，与えられた三角形の各辺を逆方向に延ばすと大きな三角形の対辺を１：２に内分する点と交わるのである．

　ｋ＝２の場合，拡大三角形の１辺の長さは√７になる．ここで，余弦定理

　　１^2＝２^2＋（√７）^2−２・２・√７ｃｏｓα

　　ｃｏｓα＝５／２√７

　θがａｒｃｃｏｓα進む毎にｒの値が√７倍になる→Ｂ＝√７の１／ａｒｃｃｏｓα乗

もし，ｒ＝ａｅｘｐｂθの形であれば

　　Ｂ＝ｅｘｐｂ＝√７の１／ａｒｃｃｏｓα乗

　　ｂ＝１／２ａｒｃｃｏｓαｌｏｇ７

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【１】まとめ

　この結果は正三角形に限らず，任意の三角形に対して成り立つ．

［１］さらに調べてみたところ，一般に与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3−１）^2／（λ^2＋λ＋１）^3＝（λ−１）^3／（λ^3−１）

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／７．

［２］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

（証）１／（λ＋１）・μ／（μ＋１）＋１／（μ＋１）・ν／（ν＋１）＋１／（ν＋１）・λ／（λ＋１）＝１−（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／３．λ＝μ＝ν＝−２のとき７．

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