今回のコラムでは高次元正多面体の変換群について考察しますが，αに対する鏡映をＲαで表すことにします．このような鏡映Ｒにより生成される群がコクセター群です．イントロダクションとして次の問題を紹介することから始めたいと思います．
コラム「超幾何関数のはなし」では，正多面体群（シュワルツの三角群）について説明するために，三角形Ｐ（黒塗り）とそれを裏返した三角形Ｑ（白塗り）の２つを交互に並べて，平面全体をタイル張りすることを考えました．たいていの場合は途中でタイル同士が重なってしまいますが，うまくいくと市松模様のタイル張りができあがります．
（問）Ｐがどのような形のとき，このようなタイル張り（平面の市松模様三角形タイル張り）が可能であろうか？
（答）すなわち，三角形が偶数回の反転で元に戻る場合である．これが可能なためには，１つの頂点で偶数個の３角形が交わらなければならないので，これを２ａとおく．また，その頂点の角度をλπとおくと，頂点を一回りしたので，２ａλπ＝２π．ゆえに，
λ＝１／ａ ただし，ａは２以上の自然数．
まったく，同様に残り２つの内角に対しても
μ＝１／ｂ，ν＝１／ｃ
また，λπ＋μπ＋νπ＝πより
１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＝１
この等式を満たす（ａ，ｂ，ｃ）の組は非常に少ない．便宜上，ａ≧ｂ≧ｃとすると
（３，３，３） → 正三角形
（４，４，２） → 直角二等辺三角形
（６，３，２） → ３０°，６０°，９０°の三角形
の３種類が得られる．
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【１】ルート系
鏡像で生ずる有限群（あるいは無限離散群）は正多面体群よりももっと広い対象になります．次の問題をみてみましょう．
（問）１つの３角形を辺に関して次々折り返していって，３角形が互いに重なることなく，平面を埋めつくすことができるか？
（答）この問題も平面を鏡映三角形で埋めるというものですが，市松模様という条件がなくなっているので，１つの頂点に会する三角形は偶数に限る必要はありません．
α＝２π／ｐ ただし，ｐは３以上の自然数．
まったく，同様に残り２つの内角に対しても
β＝２π／ｑ，γ＝２π／ｒ
また，α＋β＋γ＝πより
１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＝１／２
が成り立ちます．
ここで，３≦ｐ≦ｑ≦ｒと仮定すると
１／２＝１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ≦３／ｐ
より，３≦ｐ≦６
さらに，ｐが奇数のとき，頂点Ａからでる２辺の長さは等しくならなければなりません．そうしないと，折り返しでうまく重ならないからです．したがって，
(i)ｐ＝３のとき，ｑ＝ｒなので，
ｑ（ｑ−１２）＝０
これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（３，１２，１２）
(ii)ｐ＝４のとき，（ｑ−４）（ｒ−４）＝１６
これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（４，５，２０），（４，６，１２），（４，８，８）ですが，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（４，５，２０）は必要条件を満たすものの，十分条件を満たさない，すなわち，１点のまわりだけは完全に埋められても平面のタイル張りになりません．凸な多角形では七角以上になるとどんな型のものも平面充填はうまくいかないのです．
(iii)ｐ＝５のとき，ｑ＝ｒより，
ｑ（３ｑ−２０）＝０
これを満たす３以上の整数はありません．
(iv)ｐ＝６のとき，（ｑ−３）（ｒ−３）＝９
これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（６，６，６）
結局，求めるタイル張りは
（６，６，６） → 正三角形
（４，８，８） → 直角二等辺三角形
（４，６，１２） → ３０°，６０°，９０°の三角形
（３，１２，１２）→ ３０°，３０°，１２０°の三角形
の４通りあることになり，実際に十分条件を満たします．
３０°，３０°，１２０°の角をもつ三角形が新たに加わりました．この三角形は正三角形格子（３，６）の各面を３個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様（Ｇ2）です．「麻の葉」文様と呼ばれるくり返し文様なのですが，日本では古くから装飾工芸品や寄木細工のデザインなどとして用いられていますから，ご存じの方も多いと思います．
３０°，６０°，９０°のモザイクは，３０°，３０°，１２０°の三角形からなるモザイクをさらに２個の直角三角形に分解してできる模様（Ｇ2），直角二等辺三角形モザイクは正方格子（４，４）を４分割したもの（Ｂ2＝Ｃ2），正三角形は正三角形格子（３，６）そのもの（Ａ2）です．
ルート系では，ベクトルの間の角度は３０°，４５°，６０°，９０°またはその補角に限られるので，２次元の可能なルート系は
Ａ2（正六角形：正三角形格子）
Ｂ2＝Ｃ2（正方形）
Ｇ2（星形六角形：正６角形を２個合わせたもの）
しかありません．
以下，ルート系について説明しますが，たとえば，面心立方格子や対心立方格子などの結晶格子には，空間中の格子点の位置を表すのに単純並進ベクトルと呼ばれる３つのベクトルがあり，その長さと角度によって，それぞれの格子の構造を特徴づける係数が得られます．もちろん，３つのベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑の選び方は一義的には決まらず，いろいろな選び方があるのですが，上記の４種類の鏡映三角形からなるモザイク模様に対しても同様に，R^2のベクトルの集合を考えることができます．
（６，６，６） → Φ1＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑｝
（４，８，８） → Φ2＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑，２ａ↑＋ｂ↑｝
（４，６，１２）→ Φ3＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑，２ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋２ｂ↑｝
（３，１２，１２）→Φ4＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑，２ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋２ｂ↑｝
２つのベクトルａ↑，ｂ↑はルート系の基底，また，このようにして得られたベクトルの集合Φ1，・・・，Φ4を階数２のルート系と呼ぶのですが，平面を鏡映三角形で埋めつくす問題を一般の次元に拡張して，R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．
たとえば，R^8の標準基底をｅ1，・・・，ｅ8とすると，Ｅ8型ルート系は，
Φ＝｛ｅ1−ｅ2，・・・，ｅ7−ｅ8，ｅ0−ｅ1−ｅ2−ｅ3｝
のように求まります．ルート系の分類は，それ自体大変面白いものなのだそうですが，既約ルート系の同型類には，ＡからＧまでのアルファベットに，添字として階数をつけた名前（カルタンの命名による慣用的な記号）が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっています．
ルートは鏡映を与えるベクトルとして理解することができるのですが，８次元ユークリッド空間において，８次元単体（４面体の拡張）を鏡映したものからなるモザイク模様に対してベクトルの集合を考えることによって，Ｅ8型ルート系が得られるというわけです．そして，２つのベクトルの間の角θは，
θ＝３０°，４５°，６０°，９０°（またはその補角）
に限られます．これはカルタン数（２ｃｏｓθ）^2が整数となる値です．
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【２】高次元の正多胞体とリー群
（６，６，６） → 正三角形
（４，８，８） → 直角二等辺三角形
（４，６，１２） → ３０°，６０°，９０°の三角形
（３，１２，１２）→ ３０°，３０°，１２０°の三角形
が２次元の基本単体になるのですが，基本単体を鏡映も許しながら自分自身に重ねていく操作がルート系であり，それは，アメリカのキリングやフランスのカルタンによって成し遂げられた単純リー群の分類と関係しています．
そして，高次元の正多面体の場合の結論を先にいうと，ユークリッド空間の有限群（正多面体）または無限離散群（空間充填形）になるのは，４つの無限系列（Ａn，Ｂn，Ｃn，Ｄn）と６つの例外的な場合（Ｇ3，Ｆ4，Ｇ4，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8）に限られます．
このうち，ｎ次元の正単体群はＡn，超立方体群はＢnまたはＣn，３次元の正二十面体群はＧ3，４次元の正２４胞体群はＦ4，４次元の正６００胞体群はＧ4と関連しています．
以下，代表的なディンキン図形を掲げますが
・−・・・・・−・ （Ａn：ｎ≧２のとき位数２の自己同型がある）
・
／
・−・・・・・ （Ｄn：ｎ≧４のとき位数２の自己同型がある）
＼
・
３
／
１−２ （Ｄ4：位数３の自己同型がある）
＼
４
４
｜
１−２−３−５−６ （Ｅ6：位数２の自己同型がある）
１＝２ （Ｂ2） １≡２ （Ｇ2） １−２＝３−４ （Ｆ4）
１≡２−３ （Ｇ3） １≡２−３−４ （Ｇ4）
ここで，Ｇ3，Ｇ4はＧ2に１個または２個の節点をつないだグラフであり，単純リー群では許されない形です（拡張されたディンキン図形）．
正２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体です．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．たとえば，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているというわけです．
また，正２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．
正６００胞体（３，３，５）では捩れ（３，４，３）が関係してＧ4をもちます．また，正１２０胞体の６００個の頂点をうまくとると，他の４次元正多胞体（正５，８，１６，２４，６００胞体）がすべて作れるので，その意味で正１２０胞体は４次元の万能正多面体です．（３次元の正十二面体はその頂点から正四面体，正六面体を作ることができますが，正八面体や正二十面体を作ることはできません．）
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［補］鏡映群
いくつかの鏡映変換により生成される直交変換群を鏡映群という．鏡映群は数学の様々に分野で広く現れる重要な研究対象である．無限の鏡映群は基本的には直交群しかないが，有限の鏡映群は
Ａn（ｎ≧１），Ｂn（ｎ≧２），Ｄn（ｎ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｈ3，Ｈ4，Ｉ2(ｐ)（ｐ＝５またはｐ≧７）
に分類される．
下付きの指数はそれが働く空間の次元である．Ａnはｎ次元正単体の対称性の群と解釈することができる．Ｂnはｎ次元立方体（正８面体）の対称性の群であり，位数は２^nｎ！である．ＤnはＢnに対応する群の指数２の部分群に対応している．Ｈ3は正２０面体の対称性の群に対応し，Ｉ2(ｐ)は正２面体群Ｄpに対応している．Ｈ4とＦ4はそれぞれ４次元の正多胞体（正２４胞体，正６００胞体）に対応している．
ここにあげられた群はＨ3，Ｈ4，Ｉ2(ｐ)（ｐ＝５またはｐ≧７）を除いて，すべて結晶群である．なお，線形代数はＡkという特定のルート系の理論であり，ユークリッド空間やシンプレクティック空間の幾何に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論である．そこでの理論の多くは，例外型の結晶群（Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2）に対してだけでなく，結晶群でないユークリッド鏡映群（Ｉ2(p)，Ｈ3，Ｈ4）に対しても成り立つ．
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【３】基本単体に関する反転によって生成される群
結論を先にいってしまいましたが，とはいっても，これには大変な手間がかかります．その理由はｎ（≧４）次元図形になると計算に頼らざるをえず，例外型のルート系を漏れなく調べるのが大変になるからです．以下には考え方の基本になる一般論をいささか天下り的に与えておきます．
ｎ次元空間の正多胞体とは「ｎ個の超平面に囲まれ，全体の中心ｏnから各頂点ｏ0，各辺の中点ｏ1，各面の中心ｏ2，・・・，各超辺の中心ｏn-2，各超平面の中心ｏn-1までの距離がそれぞれ相等しく，そのｍ次元成分はすべてｍ次元の正多胞体である」と定義されます．
このとき，ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を結んだｎ次元単体を「基本単体」と呼びます．ｏ0ｏ1，ｏ1ｏ2，・・・，ｏn-1ｏnは互いに直交するので，ｎ次元正多胞体の諸量を計算するための基本となっています．基本単体は万華鏡のように隣同士が互いに鏡像形で，半分ずつが互いに合同です．
基本単体の個数ｇは正多胞体にとって最も大切な基本量です．基本単体は隣同士が鏡像形であり，半分ずつが互いに合同であることより，３次元正多面体の基本単体の個数は
ｇ＝２ｐｆ＝２ｑｖ＝４ｅ
すなわち，正多面体の辺の個数ｅの４倍と等しくなります．この基本領域は超球面上，または，ユークリッド空間内の単体になるのですが，それに応じて有限群（正多面体）か離散無限群（空間充填形）になります．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして
ａ＝（ａ1，・・・，ａn）
ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）
実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，
ａｘ’＝ｃ
で表すことができます．原点を通るときｃ＝０です．
ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．
また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，
ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１
が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．
ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．
超平面＜ａ，ｘ＞＝０に対するｂの反転像をｂ’とすると，ｂ−ｂ’はａに平行であり，
ｂ−ｂ’＝２＜ｂ，ａ＞／＜ａ，ａ＞
なる関係式が成立します．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
２次元の正多角形はその辺数ｐで，３次元の正多面体は面の辺数ｐと各頂点に会する面の個数ｑをペアにしたシュレーフリ記号（ｐ，ｑ）で表されます．それと同様に，ｎ次元正多胞体ではシュレーフリ記号を一般化して，ｎ−１次元超平面（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2）が３次元低い構成要素上にｐn-1個ずつ会する，
（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2，ｐn-1）
で表現されます．
たとえば，
ｎ次元正単体は（３，３，・・・，３，３），
双対立方体は（３，３，・・・，３，４），
超立方体は（４，３，・・・，３，３）
と表されます．これを逆順にした（ｐn-1，ｐn-2，・・・，ｐ1）で表される正多胞体が双対正多胞体です．ここで，
ｃk＝ｃｏｓ（π／ｐk）
とおきます．
また，ｎ次元単位単体Δ＝ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を定め，１点から各面（超平面）までの距離を（ｘ0，ｘ1，・・・，ｘn）とします．（ｘ0，ｘ1，・・・，ｘn）は２次元の三線座標のｎ次元版です．
すると，定数ｃ0，ｃ1，・・・，ｃnについて
ｃ0ｘ0＋ｃ1ｘ1＋・・・＋ｃnｘn＝１
が成立します．さらに，各面（超平面）の単位法線ベクトルをｅkとすると，ｎ＋１本のベクトル間には
ｃ0ｅ0＋ｃ1ｅ1＋・・・＋ｃnｅn＝０ （ゼロベクトル）
なる１次関係があります．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ここで，基本行列
［０，ｃ1 ，０，・・・・・・・・・，０］
［ｃ1 ，０，ｃ2 ，０，・・・・・・，０］
Ｃ＝［０，ｃ2 ，０，ｃ3 ，０，・・・・，０］
［・・・・・・・・・・・・・・・・・・］
［０・・・・・・・・・・・，０，ｃn-1 ］
［０，・・・・・・・・・０，ｃn-1 ，０］
を作り，固有方程式
Ｐn（λ）＝ｄｅｔ｜λＩ−Ｃ｜＝０
からその固有ベクトル（１次変換によって同じ方向に写るベクトル）と固有値λ（その拡大率）を求めるのですが，これを解くとＣの固有ベクトルが基本単体の超平面に関する反転列Ｒ1・・・Ｒnによって不変なベクトルとなります．（頂点ｏkに対する超平面Πkに関する反転を便宜上番号をずらせてＲk+1としています．）
また，三重対角行列となることから，漸化式
Ｐn+1（λ）＝λＰn（λ）−ｃn^2Ｐn-1（λ）
Ｐ1（λ）＝λ，Ｐ2（λ）＝λ^2−ｃ1^2
を得ることができます．
空間充填形の固有値についてはλ＝±１となるのですが，正多面体については｜λ｜＜１で
λ＝ｃｏｓξ，ξはπと有理比
と書くことができます．その際，最大固有値が重要なのですが，最大固有値をとるξ（の最小値）はペトリー数ｈを用いてπ／ｈで表されます．
λmax＝ｃｏｓ（π／ｈ）
ペトリー数とは，反転が何回でもとに戻るかという鏡像変換に関係した基本量で，基本単体の数をｇとすると，３次元正多面体では
ｇ／ｈ＝（ｈ＋２）＝２４／（１０−ｐ−ｑ）
４次元正多胞体の場合は
ｇ／ｈ＝６４／（１２−ｐ−２ｑ−ｒ＋４／ｐ＋ｑ／４）
で表されます．
基本単体の超平面に関する反転列Ｒ1・・・Ｒnによって全周の１／ｈだけ回転するのですが，ｎが奇数ならばこれに反転が加わり，ｎが偶数ならば本来の回転となります．そして（Ｒ1・・・Ｒn）^(h/2)は中心に対する反転となるのです．
なお，正ｎ角形にはｎ本の対称軸がありますが，正多面体の対称面の個数は？ｎ次元の正多胞体に対称超平面は合計何枚あるのか？という問題の答は，ｎを次元数，ｈをペトリー数として
ｍ＝ｎｈ／２
枚で与えられます．正多角形の対称軸の数ｍ＝２ｎ／２において，分子の２は平面の次元数と解釈できます．また，３次元正多面体の対称面はｍ＝３ｈ／２個ですが，３は次元数です．
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【４】参考文献
以上の説明は
一松信「高次元の正多面体」日本評論社
を参考にしているのですが，そこには実際の計算例について述べられていて，
(1)Ｐn（λ）＝ｄｅｔ｜λＩ−Ｃ｜＝０
の根はすべて単実根であって，根と根の間には必ずＰn-1（λ）＝０の根があること
(2)根は原点について対称であること
(3)ｎ次元正単体（３，３，・・・，３，３）の固有値は
ｃｏｓ（ｋπ／（ｎ＋１））
ｋ＝１，２，・・・，ｎですから，最大固有値は
λ＝ｃｏｓ（π／（ｎ＋１））
(4)ｎ次元超立方体（４，３，・・・，３，３）の固有値は
ｃｏｓ（ｋπ／２ｎ）
ｋ＝１，３，・・・，２ｎ−１ですから，最大固有値は
λ＝ｃｏｓ（π／２ｎ）
となること
(5)（５，３，・・・，３）はｎ≦４に限って存在すること，すなわち，ｎ≧５では正単体，双対立方体，超立方体以外に正多面体は存在しないこと
などが記載されています．
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