ソフトマテリアルによる構築では安定性が重要になる．安定性とはリジッドな変形のしにくさがではなく，変形を食い止めるフレキシブルなメカニズムが働くことである．スローガン風に書けば，

　　ハードマテリアル←→「剛性」

　　ソフトマテリアル←→「剛性」よりも「柔軟性」

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ハードマテリアルの構築原理

［１］２次元：ｅ＝２ｖ−３

［２］３次元：ｅ＝３ｖ−６

［３］ｎ次元：ｅ＝ｎｖ−ｎ（ｎ＋１）／２

で与えられる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ソフトマテリアルの構築原理

　ハードマテリアルの構築原理は定量的かつ確定的であるが，それに対して，ソフトマテリアルの構築原理は一義的には決まらず，統計的にしか扱えないことが多い．例をあげると

［１］面の数ｆはほぼ１４をピークとする分布を示すことが認められている．たとえば，植物細胞についての観察結果では全体の７４％が１２〜１６面であり，５６％が１３〜１５面（平均１３．９６面）という値が得られている．また，金属ガラスの構造で最も多い面の数はｆ＝１４（〜３５％），ついでｆ＝１５（〜２５％）とｆ＝１３（〜２０％）が続く．

　オイラーの多面体定理を使うと

［１］２次元細胞の辺数の平均は≦６であり，すべての細胞が６辺以上の辺をもつことは不可能である

［２］３次元細胞の面数の平均は≦１４であり，すべての細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である

ことが証明される．

［２］金属ガラスの構造で最も多い面の数はｆ＝１４（〜３５％），ついでｆ＝１５（〜２５％）とｆ＝１３（〜２０％），面の形ではｐ＝５（〜４０％），次がｐ＝６（〜３０％），ｐ＝４（〜２０％）と続く．面の数の平均値はおよそｆ＝１３．６，面あたりの辺の数の平均値はおよそｐ＝５．１２であるという．

など，平均値・最頻値などを使って要約されるのである．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　以下には，定性的でなくできるだけ定量的な結果を掲げてみたい．

［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグ）．

［２］ｎ＋１個のとき，ボロノイ細胞の面数は最大２（２^n−１）個で，安定な空間充填となる（コンウェイ）．

　切頂八面体は各頂点に４つの稜線が集まり，各稜線に３つの面を集める空間充填図形になるからである．切頂八面体の二面角は１２０°ではなく，各頂点に集まる稜線のなす角度も１０９．４７１°ではないが，面が曲面であれば泡が要求する１２０°と１０９．４７１°の条件を満たすことができる．

［１］１次元面のなす角：ｃｏｓθ＝−１／ｎ

［２］２次元面のなす角：ｃｏｓθ＝−１／（ｎ−１）

［３］ｎ−２次元面のなす角：ｃｏｓθ＝−１／３，θ＝１０９．４７１°

［４］ｎ−１次元面のなす角：ｃｏｓθ＝−１／２，θ＝１２０°

　ｎ次元空間充填２（２^n−１）面体は各頂点にｎ＋１本の稜線が集まり，各稜線にｎ個の面を集める空間充填図形である．その二面角は１２０°ではないが，面が曲面であれば泡が要求する１２０°の条件を満たすことができる．１２０°は次元数ｎに関わらず，普遍的にみられる条件になっているのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝