（その１）では中川宏さんの木工正多面体を紹介しました．５つの正多面体（正４・６・８・１２・２０面体）はすべて立方体から作れたのですが，その際，一番難しいと予想された正十二面体が，たった１種類の定規だけで出来上がることがわかりました．正十二面体は立方体の各面に屋根をつけて構成することができることを考えると（木工の立場からみて）正十二面体が最も立方体に近い正多面体ということになります．

　もっと不思議だったのは，美しい正五角形の十二の面にいろどられた正十二面体（蝶）が決して美しいとはいえないひとつ前の形（さなぎ）から突如として現れたことです．このことはそれを作った中川さんにも予想できないことでありました．

　上の写真はさなぎと蝶ですが，最後の最後に一挙に正五角形が現れるというドラマが待ち受けています．そこに感動するだけでも子供たちの数学に対する興味は大きく育つのではないかと思われるのです．

　その後，中川さんの木工多面体は東京と京都のシュタイナー学校で教材として採用されることが決まりました．今回のコラムでは中川さんの木工多面体のＰＲも兼ねて，５つの正多面体以外の多面体について，簡単に解説していきたいと思います．

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【１】菱形十二面体（４次元の雪）

　菱形十二面体は対角線の長さの比が１：√２の合同な菱形を１２枚張り合わせたものです．菱形十二面体（頂点は１４個）では，６個の頂点に４つの面が集まり，残りの８個の頂点に３つの面が集まっています．

　４つの面が集まる頂点の方向からみるとその投影図は正面，平面，側面がすべて正方形になっているという奇妙な投影図形を示します．一方，３つの面が集まる頂点の方向からみるとその投影図は正六角形を示します．

　菱形十二面体は面心立方格子のボロノイ図であり，実際，ざくろ石の結晶としても自然界に産出します．また，ケプラーは雪の結晶が正六角形をしているのはなぜかと考え，史上初めて菱形十二面体をみつけました．菱形十二面体は正２４胞体の３次元版と考えられるのですが，ケプラーが思考実験したとおり４次元の雪（超正六角形）は菱形十二面体なのです．

　菱形十二面体は，面が正多角形ではないので準正多面体ではありませんが，立方八面体の各面の中心をつないで余分なところを切り落とすと現れる多面体，すなわち，準正多面体の双対多面体でもありますから一種の準正多面体群として考えることができます．なお，正八面体に外接する菱形十二面体では，菱形面の長い方の対角線がこの正八面体の辺となっています．

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【２】切頂八面体（表面積は小さく容積は大きく）

　菱形十二面体（４次元の雪）としばしば対比されるのが，切頂八面体です．どちらも単独で空間充填可能な立体図形なのですが，菱形十二面体が面心立方格子のボロノイ図であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子のボロノイ図となっています．

　ここで，空間を体積が等しい凸多面体で，平均表面積ができるだけ小さくなるように分割せよという問題を考えてみることにしましょう．この問題はかなり長い間，菱形１２面体による空間分割が解だと考えられていたのですが，予想に反して，体積１のときの表面積を求めると，菱形１２面体型分割では

　　3√１０８√２＝５．３４５・・・

切頂８面体型分割では

　　３／４3√４（１＋√１２）＝５．３１４・・・

と後者の方が約０．５％少なくなります．

　このようにして，１８８７年，英国の物理学者，ケルビン卿（ウィリアム・トムソン）は切頂八面体の集合によって空間を満たすことができ，そのときの界面積は菱形十二面体で満たしたときより小さいことを発見しました．すなわち，切頂八面体は表面張力を最小とする空間分割構造であると考えることができるのです．

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［補］切稜立方体の表面積Ｓと体積Ｖは，ｄをパラメータとして

　　Ｓ＝（６−９／√２）ｄ^2＋６√２ｄ＋６√２

　　Ｖ＝−３／４ｄ^3＋３／２ｄ^2＋３ｄ＋２

で表されます→コラム「切稜立方体（その３）」．菱形十二面体ではｄ＝０ですから

　　Ｓ＝６√２（

　　Ｖ＝２

　一方，切頂八面体では

　　Ｓ＝（１２−８√３）ｄ^2＋（２４√３−４８）ｄ＋４８−１２√３

　　Ｖ＝８／３ｄ^3−１２ｄ^2＋１２ｄ＋４

においてｄ＝３／２とおいて求められます→コラム「切頂立方体の計量」．したがって，

　　Ｓ＝３＋６√３

　　Ｖ＝４

となります．

　体積１のときの表面積は

　　3√（Ｓ^3／Ｖ^2）

で求められますから，菱形十二面体では

　　3√（Ｓ^3／Ｖ^2）＝3√（１０８√２）＝５．３４５・・・

切頂八面体では

　　3√（Ｓ^3／Ｖ^2）＝３／４・3√４・（１＋√１２）＝５．３１４・・・

これでケルビン卿の計算が正しいことが確かめられました．

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【３】切頂二十面体（サッカーボール）

　正多面体が１種類の正多角形（正３角形，正方形，正５角形）だけでできているのに対して，２種類以上の正多角形から構成されている立体が準正多面体で，プラトンの立体（Platonic solid）に対してアルキメデスの立体（Archimedean solid）とも呼ばれています．

　準正多面体は合計１６種あります．アルキメデスは準正多面体のうちの１３個知っていましたが，残り３つのうち２つはカタラン，最後の１つはベールによって発見されています．正多角形，正多面体は円，球に内接・外接しますが，準正多面体は球に内接するだけで外接しません．

　サッカーのボールは正五角形１２個と正六角形２０個を張り合わせてできていますが，アルキメデスの立体はサッカーボールですでにおなじみでしょう．この準正多面体は正２０面体（頂点が１２個，正三角形の面が２０個ある）の各頂点からのびている５本の辺をそれぞれ１／３の長さの所で切り取り，五角錐をはずした姿であり，切頂二十面体（truncated icosahedron）とも呼ばれます．

　ちなみに，石墨（グラファイト）とダイヤモンドにつぐ炭素の第３の形と呼ばれる炭素原子クラスター（フラーレン）のなかでもきわめつけはＣ60で，この形はサッカーボールにそっくりです．この世界最小のサッカーボールはアメリカの異才バックミンスター・フラーへの親しみを込めて，バッキーボールという愛称でも知られています．Ｃ60の化学合成は１９８９年に成功しましたが，その後，１９９２年にアルカリ金属を添加すると超伝導体になるなどのおもしろい性質が発見され，Ｃ60は目下発展中の話題を提供しています．

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【４】切頂四面体

　いったん正ｎ面体が出来上がると，それぞれの切頂ｎ面体シリーズを作ることができます．以前は切頭ｎ面体と呼ばれていました．切頭とは角張ったところを切り落とすという意味なのですが，頭を切るでは物騒ですし「セットウ」では窃盗に通じて聞こえが悪いので，最近では切頂が標準的に用いられています．

　正四面体も切頂四面体も単独では空間充填できませんが，両者を１：１の割合で組み合わせて使うと空間充填が可能になります．また，このことから切頂四面体の正三角形部分に正四面体を４分割した扁平な四面体をくっつけたものが単独空間充填多面体となることも理解されます．

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【５】１２・２０面体（複合多面体）

　正十二面体の切頂からは２０・１２面体（左）や切頂１２面体ができます．両者は切頂の深さが違うだけです．さらに，斜２０・１２面体と大斜２０・１２面体の写真も掲げておきます．

　ところで，同じ大きさの正３角形２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正３角形に重ねると，星形６角形ができます．これはダビデの星と呼ばれて，イスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされています．

　星形６角形では内側に正６角形ができますが，外側のとがった角を結んでも正６角形ができます．すなわち，星形６角形は外側を正６角形が取り囲んでいて，内側にも正６角形が入っていることがわかります．それでは，・・・

（問）それでは，同じ大きさの正４面体２個を重ねた場合，その外側と内側にはどのような立体ができるでしょうか？

（答）複合多面体とは，いくつかの多面体を中心がすべて一致するように重ね合わせたもので，多面体が同じくらいの大きさならば，互いに交わったり，ある面が他の面を突き抜けたりします．

　この問題はダビデの星の３次元版で，同じ大きさの正４面体２個による屋根瓦状の相貫体にはケプラーの８角星という名前がつけられています．最も簡単な複合多面体なので，これが頭の中でイメージできれば答は簡単なのですが，勘の働きにくい問題でもあります．

　上から見ても，前から見ても，横から見ても，同じ６角形に見える３次元図形を想像されますが，ところが，外側に立方体（正方形６面），内側に正８面体（正３角形８面）が正解なのです．

　小生はこの問題を「ダビデの星・ケプラーの星」と呼んでいます．「ダビデの星」では正三角形と正六角形が互いに隣接していますが，それが周期的な格子をつくったものが「カゴメ格子」です．「カゴメ格子」は，文字通り，竹篭編みにみられる篭の目の結び目を作る格子であり，日本人が最も愛好した文様のひとつです．ちなみに「カゴメ」は世界でも通用する呼び名とのことです．

　ついでに，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体の相貫体について考えてみましょう．立方体と正８面体の相貫体は，外側を菱形１２面体（直交する対角線の比が１：√２の菱形１２面）が，内側には立方８面体（正方形６面＋正３角形８面）が入っています．

　正１２面体と正２０面体の相貫体では，外側を包む立体が菱形３０面体（直交する対角線の比が黄金比になっている菱形３０面），内側には１２・２０面体（正５角形１２面＋正３角形２０面）という多面体が内包されているのです．（正多面体とその双対多面体との共通部分は，正８面体，立方８面体（６・８面体），１２・２０面体です．）

　正多面体の各面の中心（重心）を順に結んで立体を作ると，もとの正多面体と面と頂点の関係が逆向きの正多面体ができます．互いに表と裏の関係にある多面体を双対多面体といいます．正四面体ではふたたび正四面体ができ，正六面体では正八面体が，逆に正八面体では正六面体が，また，正十二面体では正二十面体が，逆に正二十面体では正十二面体ができます．したがって，正四面体は自己双対であり，正六面体と正八面体，正十二面体と正二十面体とは互いに双対です．このことにより，正多面体は，｛正四面体｝，｛正六面体と正八面体｝，｛正十二面体と正二十面体｝の３つのグループに大別することができます．

　３種類の相貫体−−正４面体と正４面体，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体−−について調べてみると，それぞれの立体の間に双対関係があり，３種類の相貫体の外側にできる立体と内側にできる立体−−立方体と正８面体，菱形１２面体と立方８面体，菱形３０面体と１２・２０面体も互いに双対関係をもっていることがわかります．そして，これらもやはり相貫体をつくることができ，そしてまたそこに現れてくる外側と内側の立体も双対関係になっています．頂点と面に関しての双対性にはうまくできているなと感嘆させられます．自然界の法則性，自然が作るきれいな関係の１例といえましょう．

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【６】おまけ（星形正多面体と正多面体群）

　凹型正多面体まで含めると正多面体は全部で９種類あり，プラトンの立体と呼ばれる凸型５種類の他の４種類は，星形正多面体（ケプラーがみつけた星形小十二面体，大十二面体と約２００年後にポアンソがつけ加えた星形大二十面体，大二十面体の４種類）です．同じ大きさの正４面体２個による相貫体＜ケプラーの８角星＞はダビデの星の３次元版ですが，星形正多面体には加えません．

　ポアンソの大十二面体を木で作ることは極めて難しそうです．そこで，竹ひごでつくった正二十面体の骨だけを考えます．各頂点のまわりに５つの頂点があるのですが，それらを頂点とする五角形の膜を張ります．五角形同士があちことで交わりますが，このことを１２個の頂点すべてでやるとポアンソの大十二面体ができあがります．これを紙で作る場合は正五角形の対角線の半分まで（五角形がばらばらにならない程度に）切れ目を入れたものを１２枚用意して組み立てます．

　星形正多面体は４種類しかないことはコーシーが示していますが，３次元空間の回転群の有限部分群は，コーシーが示したように

　　(1)巡回群Ｃn

　　(2)正二面体群Ｄ2n

　　(3)正多面体群，すなわち

　　　a)正四面体群（４次交代群：Ａ4）

　　　b)正八面体群（４次対称群：Ｓ4）

　　　c)正二十面体群（５次交代群：Ａ5）

に限られます．

　すなわち，３種類の回転対称性：

　　正４面体群＝Ａ4（４個の要素からなる偶置換全体＝交代群）

　　立方体（正８面体）群＝Ｓ4（４個の要素からなる置換全体）

　　正１２面体（正２０面体）群＝Ａ5（５個の要素からなる偶置換全体）

の他に，正ｎ角錐のもつ巡回群Ｃnと正ｎ角柱のもつ二面体群Ｄnがあります．

　それでは，高次元ではどうなるのでしょうか？　正多面体は３，４，５次元以上でそれぞれ５種，６種，３種存在するのですが，双対正多面体や自己同型があるので，正多面体群としては３次元のときは３種，４次元のときは正５胞体群，正１６胞体群，正２４胞体群，正６００胞体群の４種，５次元以上では正単体群と超立方体群の２種となります．このことから，星形正多面体はｎ＝４のとき１０種あるが，ｎ≧５では存在しないことが証明されるそうです．

　　　　　　　３次元空間　　　　４次元空間　　　　ｎ次元空間（ｎ≧５）

正多面体　　　　　５種　　　　　　　６種　　　　　　　３種

星形正多面体　　　４種　　　　　　１０種　　　　　　　０種

　星形正多胞体は４次元で多彩となり，そこで突然終わりになる・・・５次元以上では３種類の標準正多胞体がすべてということになります．

　また，星形正多面体はｎ＝３のとき４種あり，３次元の９種の正多面体（凸型５種＋星形４種）を，

　　(1)三角四角型（Ｓ4，Ａ4）：３種

　　(2)五角型（Ａ5）：６種

と分類することもできるのですが，それを高次元で行うと，

　　　　　　　３次元空間　　　　４次元空間　　　　ｎ次元空間（ｎ≧５）

三角四角型　　　　３種　　　　　　　４種　　　　　　　３種

五角型　　　　　　６種　　　　　　１２種　　　　　　　０種

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［補］正多面体群

　正多面体の回転を考えると，正４面体（位数１２）では４つの頂点の偶置換を引き起こすので４次交代群Ａ4と同型，正８面体（位数２４）では対面する面は４組あり，これらの組の置換を引き起こすので４次対称群Ｓ4と同型，正２０面体（位数６０）では３０個の辺を５組に分ける偶置換として作用するので５次交代群Ａ5と同型になります．正多面体の回転群は３次の特殊直交群ＳＯ（３）の有限部分群です．

　３次元空間の回転群には，この他に２種類の有限部分群，正ｎ角錐のもつ巡回群Ｃnと正ｎ角柱のもつ二面体群Ｄnがあります．すなわち，桜の花はＣ5，雪の結晶はＤ6というわけです．

　クラインは，平面内での正ｎ角形を，球の赤道に内接する正ｎ角形の各頂点と北極・南極を結んでできる多面体を上下から赤道面に押しつぶしてできる体積が０の正凸面体と考え，この群を正２面体群と命名しました．２面体群とは，正ｎ角形を回転してもとの正ｎ角形に重ねる巡回群に対し，折り返しも用いてもとの正ｎ角形に重ねる変換すべてを含む群となります．

　以上をまとめると，ＳＯ（３）の有限回転群は，

　　(1)巡回群（Ｃn：位数ｎ）

　　(2)正２面体群（Ｄn：位数２ｎ）

　　(3)４次交代群（Ａ4：位数１２）←→正４面体群と同型

　　(4)４次対称群（Ｓ4：位数２４）←→正６（８）面体群と同型

　　(5)５次交代群（Ａ5：位数６０）←→正１２（２０）面体群と同型

のいずれかであることになります．(1)〜(5)が広義の正多面体群，(3)〜(5)が狭義の正多面体群です．

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　正多面体群とリー群との関連では，ｎ次元の正単体群はＡn，超立方体群はＢnまたはＣn，３次元の正二十面体群はＧ3，４次元の正２４胞体群はＦ4，４次元の正６００胞体群はＧ4と関連しています．

　　・−・・・・・−・　　（Ａn：ｎ≧２のとき位数２の自己同型がある）

・

　　　　　　　　　／

　　・−・・・・・　　　　（Ｄn：ｎ≧４のとき位数２の自己同型がある）

　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　・

　　　　　　３

　　　　　／

　　１−２　　　　（Ｄ4：位数３の自己同型がある）

＼

　　　　　　４

　　　　　　４

　　　　　 ｜

　　１−２−３−５−６　　（Ｅ6：位数２の自己同型がある）

　　１＝２　（Ｂ2）　　１≡２　（Ｇ2）　　１−２＝３−４　（Ｆ4）

　　１≡２−３　（Ｇ3）　　１≡２−３−４　（Ｇ4）

　ここで，Ｇ3，Ｇ4はＧ2に１個または２個の節点をつないだグラフであり，単純リー群では許されない形です（拡張されたディンキン図形）．また，例外群はＤn，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8のいずれかの形になることが示されています．

　ユークリッド空間の有限群（正多面体）または無限離散群（空間充填形）になるのは，４つの無限系列（Ａn，Ｂn，Ｃn，Ｄn）と６つの例外的な場合（Ｇ3，Ｆ4，Ｇ4，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8）に限られるのです．

　正２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体です．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．たとえば，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているというわけです．

　また，正２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．

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