正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．

［Ｑ］このとき犬のたどる軌跡は？

［Ａ］等角らせん

［Ｑ］正方形の１辺の長さは３０ｍ，それぞれの犬は１ｍ／ｓの速度で動くとする．犬達が正方形の中心で出会うのにどれくらいの時間がかかるか？

［Ａ］等角らせんの伸開線と縮閉線は，もとの等角らせんと合同な等角らせんになる．犬の進む経路と正方形の１辺の長さは等しいからら，３０秒．

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【１】等角らせん

　等角らせんとは

　　ｒ＝ａ＾θ　　　（あるいはｒ＝ａｅｘｐｂθ）

により表される曲線で，動径をいつも一定の角度で横切るという特徴があり，対数らせんとも呼ばれています．

［証］ｒ＝ａｅｘｐｂθ

の動径ベクトルは

　　（ｘ，ｙ）＝（ａｅｘｐｂθｃｏｓθ，ａｅｘｐｂθｓｉｎθ）

速度ベクトルは

　　（ｖx，ｖy）＝（ａｅｘｐｂθ（ｂｃｏｓθ−ｓｉｎθ），ａｅｘｐｂθ（ｂｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）

である．

　ここで，動径ベクトルと速度ベクトルのなす角は

　　ｃｏｓφ＝ｂ／（ｂ^2＋１）^1/2

であるから，φはθによらず一定である．

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［注］以下の言明には誤りがあります．（その９）で訂正しています．

【２】追跡曲線と等角らせん

　昆虫には太陽光線に対して一定の角度を維持しながら飛ぶという習性があり，（太陽光線は平行光線とみなせるので日中は問題ないが）夏の夜，街灯や集蛾灯の回りをぐるぐる飛び回る虫の飛跡は等角らせんとなります．

［Ｑ］犬のたどる等角らせんｒ＝Ｂ^θにおいて，Ｂの値は？

［Ａ］一般に，長方形ＡＢＣＤの対角線ＡＣを引く．次に，頂点Ｄから対角線と直交する線を引き，ＢＣとの交点をＥとする．点ＥからＡＤに垂線を引き，垂線の足をＦとする．このとき，元の長方形ＡＢＣＤと長方形ＣＤＥＦは相似である．

　「回転する正方形」の問題では，ＡＢＥＦは正方形ですから，

　　ｘ：１＝１：（ｘ−１）　→　ｘ＝φ　　（黄金らせん）

　θがπ／２進む毎にｒの値がφ倍になる→Ｂ＝φの２／π乗

もし，ｒ＝ａｅｘｐｂθの形であれば

　　Ｂ＝ｅｘｐｂ＝φの２／π乗

　　ｂ＝２／πｌｏｇφ

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