■n次元の立方体と直角三角錐(その218)

【1】形状ベクトルとワイソフ構成

 たとえば,3次元の場合,基準点Qが三角形の内部P0P1P2にあるのか,3辺の上P0P1,P0P2,P1P2にあるのか,3頂点の上P0,P1,P2にあるのか,7種類のいずれかにあるのかを示すのが形状ベクトルである.

 それぞれの形状ベクトルは[1,1,1],[1,1,0],[1,0,1],[0,1,1],[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]と表記される.このような頂点の決め方をワイソフ構成という.

 一般に,n次元空間においては基本単体の構成要素の2^n−1種類のいずれかにあるのかを示すのが形状ベクトルである.点Qが決まればあとは鏡映することによってすべての頂点の位置を決定することができる.

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【2】基本単体

 正多胞体は反転すると合同になる単体群に分割される.それが基本単体である.正単体では(n+1)!個,正軸体・立方体では2^nn!個の基本単体に分割される.

 3次元の場合,基本単体の4つの面は直角三角形で,中心と結ばれる3つの稜線P0P3,P1P3,P2P3の長さはそれぞれ外接球。中接球,内接球の半径に一致する.

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