オイラー級数を

　　Ｈn＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＋１／ｎ^2

と定義します．オイラー級数は次第に減少する項からなりますが，ｎを無限大にしたとき，無限級数

　　Ｈ∞＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６

に収束します．

　１７３４年，オイラーが当時懸案の大問題（バーゼル問題）を解いたのですが，次に，この漸近挙動を示す直角三角形連鎖を取り上げてみることにします．

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【１】オイラー級数の螺線

　原点をＯ，点Ｐ1を（１，０）とします．点Ｐ1において長さ１／２の垂線Ｐ1Ｐ2⊥ＯＰ1を立て点Ｐ2（１，１／２）とします．すると，ＯＰ2＝√（１／１^2＋１／２^2）となります．さらに点Ｐ2において長さ１／３の垂線Ｐ2Ｐ3⊥ＯＰ2を立てます．ＯＰ3＝√（１／１^2＋１／２^2＋１／３^2）となります．これを繰り返せば，１，√（１／１^2＋１／２^2），√（１／１^2＋１／２^2＋１／３^2），・・・，√（Σ１／ｋ^2）が得られ，点Ｐ1，Ｐ2，・・・は螺線のような図形を作ります．

　動径ベクトルＯＰkの長さは√（Σ１／ｋ^2）になりますから，ｋ→∞のとき，　　｜ＯＰk｜→π／√６．また，

　　｜ＯＰ1｜＋｜Ｐ1Ｐ2｜＋・・・＋｜Ｐn-1Ｐn｜＝１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・→∞．

それでは動径ベクトルＯＰkの偏角がπ，２πを越すときのｋの値は？

［Ａ］オイラー級数の収束速度は非常に遅く，その結果，点Ｐkはゆっくり外向きの螺線を描きながら半径π／√６の極限円に限りなく近づきます．

　単精度で計算したので誤差があると思われるのですが，

　　θ＝ａｒｃｔａｎ（１／ｋ√Ｈk-1）

としてΣθを求めると，

　　π→　ｋ＝６９

　　２π→ｋ＝３８５８

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