プラトンの平面充填，アルキメデスの平面充填を表現するもうひとつの方法として，それぞれの頂点を円同士が接するような同一半径の円で置き換える方法がある．

　３ｘｙの形のアルキメデスのタイル貼りはｘ＝ｙ＝１２でなければならない．（ｘ，ｙ）＝（９，１８），（１０，１５），（７，４２），（８２４）のような配列は平面全体を充填できず，（１２，１２）だけが可能である．

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【１】安定した最も疎な円配置

　同じ大きさの円を互いに他の３つずつと接し，円の中心が正六角形をなすように平面上に配置する．つぎに，各円を接点を保ったまま互いに接する小さい３つの同じ大きさの円に置き換える．こうして得られる小さい円による円配置は各円が隣り合う３つの円に挟まれているという意味で安定している．

　平面全体で小さい円の占める割合は

　　ｄ＝（７√３−１２）π＝０．３９３

で，安定した円配置の中で最も疎な円配置と思われている．

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