ｋ次元胞数をｆkとおく．

　　ｎ次元正軸体：ｆk＝（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

　　ｎ次元正単体：ｇk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　（その１８９）では，正軸体・正単体ともに，Ｐ0Ｐ1，・・・の数は２ｆ1，Ｐ1Ｐ2の数は３ｆ2，Ｐ2Ｐ3は４ｆ3，・・・，（ｋ＋１）ｇkと考えた．一般に，ＰjＰk（ｊ＜ｋ）の場合も同様と考えられる．

　面ＰiＰjＰk（ｉ＜ｊ＜ｋ）の場合は，組み合わせ論的に

　　ｋ（ｋ＋１）／２・ｇk

になると考えられる．

　ＰiＰjＰkのまわりに集まる基本単体数は，正軸体では

　　２^nｎ！／ｋ（ｋ＋１）／２（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)＝２^(n-k)（ｋ−１）！（ｎ−ｋ−１）！

　　ｋ＝２のとき，２^(n-2)１！（ｎ−３）！

　　ｋ＝３のとき，２^(n-3)２！（ｎ−４）！

　正単体では

　　（ｎ＋１）！／ｋ（ｋ＋１）／２（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２（ｋ−１）！（ｎ−ｋ）！

　　ｋ＝２のとき，２・１！（ｎ−２）！

　　ｋ＝３のとき，２・２！（ｎ−３）！

になるはずである．実際に計算してみることにした．

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【１】正軸体の場合

　　２^nｎ！／ｋ（ｋ＋１）／２（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)＝２^(n-k)（ｋ−１）！（ｎ−ｋ−１）！

　　ｋ＝２のとき，２^(n-2)１！（ｎ−３）！

　　ｋ＝３のとき，２^(n-3)２！（ｎ−４）！

　　ｋ＝４のとき，２^(n-4)３！（ｎ−５）！

　　ｋ＝５のとき，２^(n-5)４！（ｎ−６）！

　　　　　ｎ＝３　　　ｎ＝４　　　ｎ＝５　　　ｎ＝６

ｋ＝２　　　２　　　　　　４　　　　１６　　　　７６

ｋ＝３　　　−　　　　　　４　　　　　８　　　　３２

ｋ＝４　　　−　　　　　　−　　　　１２　　　　２４

ｋ＝５　　　−　　　　　　−　　　　　−　　　　４８

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【２】正単体の場合

　　（ｎ＋１）！／ｋ（ｋ＋１）／２（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２（ｋ−１）！（ｎ−ｋ）！

　　ｋ＝２のとき，２・１！（ｎ−２）！

　　ｋ＝３のとき，２・２！（ｎ−３）！

　　ｋ＝４のとき，２・３！（ｎ−４）！

　　ｋ＝５のとき，２・４！（ｎ−５）！

　　　　　ｎ＝３　　　ｎ＝４　　　ｎ＝５　　　ｎ＝６

ｋ＝２　　　２　　　　　　４　　　　１２　　　　４８

ｋ＝３　　　−　　　　　　４　　　　　８　　　　２４

ｋ＝４　　　−　　　　　　−　　　　１２　　　　２４

ｋ＝５　　　−　　　　　　−　　　　　−　　　　４８

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【３】まとめ

この表に斜線を引いて，斜線上に共通して

　　２→４→１２→・・・

と並ぶ．これ以降も同じ数列になるのだろうか？

　ｋ＝ｎ−２を代入すると，

　　２^(n-k)（ｋ−１）！（ｎ−ｋ−１）！＝４（ｎ−３）！

　　２（ｋ−１）！（ｎ−ｋ）！＝４（ｎ−３）！

となり，同じ数が順番に現れることがわかる．

　ｋ＝ｎ−１を代入すると，

　　２^(n-k)（ｋ−１）！（ｎ−ｋ−１）！＝２（ｎ−２）！

　　２（ｋ−１）！（ｎ−ｋ）！＝２（ｎ−２）！

となり，同じ数が順番に現れることがわかる．

　ｎ次元の正軸体も正単体もファセットは等しく，（ｎ−１）次元正単体であることの別表現になっているのである．

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