点をある方向に１単位移動することにより線ができる．その線を直角方向に１単位平行移動することにより正方形ができる．その正方形を直角方向に１単位平行移動することにより立方体ができる．

　３次元立方体の８つの頂点を第４の方向に１単位だけ平行移動することにより，４次元立方体ができる．

　ところで，この４次元立方体は何を意味しているのだろうか？　２次元空間のなかで，３次元立方体を表すことはできないが，投影図は描くことができる．４次元立方体も３次元投影図ならを描くことができるというわけである．

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【１】平行多面体

　フェドロフの平行多面体とは平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，平行辺（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），平行面から構成されている多面体である．フェドロフの平行多面体には立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかないことが証明されている（１８８５年）．

　平行多面体による空間充填形はもっと高い次元の立方格子の３次元への射影になっている．平行多面体のうち１４面体は切頂８面体だけであるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えることができる．

　平行多面体５種はｎ次元立方体の投影図から適当に線を間引くことによって得ることができる．たとえば，４次元立方体の投影図から適当に線を間引くことによって，菱形１２面体や六角柱を得ることができる．

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【２】平行多面体

　前述の方法は菱形ｎ（ｎ−１）面体の一部の辺を平面上に押しつぶすことと等価である．菱形のすべての稜は２方向，菱形六面体のすべての稜は３方向，菱形十二面体では４方向，菱形三十面体では６方向，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向を向いている．

切頂８面体　　　　　　←→　　６次元立方体　←→　菱形三十面体

長菱形１２面体　　　　←→　　５次元立方体　←→　菱形二十面体

菱形１２面体・６角柱　←→　　４次元立方体　←→　菱形十二面体（第２種）

立方体　　　　　　　　←→　　３次元立方体　←→　菱形六面体

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