オイラーの公式は単純ですが，要はその使い方というわけで，たとえば，多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならないことはもっと簡単に証明できます．

　どの領域も少なくとも６つの領域で囲まれていると仮定すると

　　６ｆ≦２ｅ

また，このような問題を解くにあたっては，すべての交点で３本の境界線が会している地図だけを考えればよいので，

　　３ｖ≦２ｅ

　これらをオイラーの公式に代入すると

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦１／３ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝０≠２

となって矛盾を生じます．したがって，５個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．

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【１】トーラス面上の地図の彩色

　平面や球面上に描かれた地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

でしたが，トーラス上の地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝０

です．

　トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることを証明するために，どの領域も少なくとも７つの領域で囲まれていると仮定すると

　　７ｆ≦２ｅ

また，３ｖ≦２ｅですから

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦２／７ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝−１／２１ｅ≠０

という矛盾を引き出すことができます．

　したがって，トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．このことを利用すると，

　　「トーラス上のどんな地図でも７色で塗り分けられる」

ことが証明されます．ヒーウッドは実際に７色を必要とする例もあげています．

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【２】ヒーウッドの公式

　これを証明したヒーウッドはさらにｇ個の穴があいたトーラス上の地図に関するオイラーの公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２−２ｇ

を利用して

(1)２個の穴があいているトーラス上の地図はどれも８色で塗り分けられる

(2)３個の穴があいているトーラス上の地図はどれも９色で塗り分けられる

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(3)１０個の穴があいているトーラス上の地図はどれも１４色で塗り分けられる

に引き続いて，

(4)ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれもＨ（ｇ）色で塗り分けられる

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

を証明しました．

　［・］はガウス記号で，

　　ｇ：１，２，３，　４，　５，　６，　７，　８，　９，１０

　　Ｈ：７，８，９，１０，１１，１２，１２，１３，１３，１４

となるのですが，しかし，ヒーウッドはｇ≧２に対してそのような地図が実在することを示すことはできませんでした．そのため，この問題は「ヒーウッド予想」と呼ばれることになりました．

　１９６８年，リンゲルとヤングスは，ｇ個の穴のあいているトーラス上にこれだけの色を必要とする地図が存在することを証明したのですが，ヒーウッド予想（１８９０年）が最終的に証明されるまでには７７年もの歳月が必要だったというわけです．

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【３】ヒーウッドの公式（その２）

　ここでのテーマは，種数ｇの閉曲面上の地図の彩色数に関するヒーウッドの公式（必要条件）の導出です．

　ヒーウッドの公式

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］　　［・］は切り捨て関数

は√ｇのオーダーになっていて，２次不等式

　　ｘ^2−７ｘ＋１２（１−ｇ）≧０

の解となっていることが見てとれます．皮肉なことにｇ＝０を代入するとｘ≧４になりますが，これはもちろん「四色問題の解」ではありません．

　ヒーウッドの公式はたいていの２次閉曲面について正しい彩色数を与えますが，クラインの瓶（ｇ＝０，向き付け不能）だけは６色必要であるという例外です．本来のトーラス（ｇ＝０）も隣接する領域が６個ある場合が例外で，それがなければ６色で彩色可能といった事実が知られているそうです．なお，十分性のリンゲルとヤングスの研究は単行本になって出版されておりますが，非常に多くの場合分けしてひとつひとつ調べるという手法だそうです．

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　なお，

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

は

　　Ｈ（χ）＝［｛７＋√（４９−２４χ）｝／２］

と同値です．

　面上の多角形分割で，面数Ｆ，頂点数Ｖ，辺数Ｅとするとき，オイラー標数

　　χ＝Ｆ＋Ｖ−Ｅ

の閉曲面（向きづけられるか否かは不問）上の地図は，辺で境される国を別の色で塗るという条件下において，ヒーウッドの数

　　Ｈ（χ）＝［｛７＋√（４９−２４χ）｝／２］　　（［・］は切り捨て）

色あれば塗り分けられる（十分条件）．

［注１］この公式は本来χ＜０の場合にのみ有効である．ただし結果的にχ＝１（射影平面）とχ＝０で向きづけられる曲面（輪環面）では必要十分な正しい値（それぞれ６と７）を与える．χ＝２（球面）のときには４を与えるが，これは「偶然の一致」であって四色問題の解ではない（∵上の公式を導くときχ＜０という条件を本質的に使っている）．

［注２］これは十分条件であって，必要条件（どうしてもそれだけの色がいる）ではない．結果的にはχ＝０で向きづけられない曲面（クラインの瓶）以外の曲面ではすべて正しく必要十分な色数を与えている．クラインの瓶は唯一の例外で公式の値は７だが，実は６色で必要十分である．必要性は部分的（χの特別な値の例）には１９世紀末から知られていたが，最終的にはヤングスとリンゲルとが共同研究して１９６８年に完全に証明された．

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【４】まとめ

　彩色数はオイラー標数とは別の，表面の不変量である．

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