ルーローの三角形ＰＱＲはいかなる向きにおいても１辺の長さがＰＱと等しい正方形ＡＢＣＤに内接する．ＡＢ＝ＰＱ＝２ａとして，ルーローの三角形の重心の軌跡を求めよ．

　　［参］阿原一志「考える微分積分」数学書房

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　（その４）の計算は尻切れトンボになってしまったが，もっとパラメータを減らせることがわかる．

　正方形の中心を原点とする．

　　Ｐ（ｘ，ａ），Ｑ（−ａ，ｙ），Ｒ（Ｘ，Ｙ）

とおくと，ＰＱ＝２ａであるから

　　（ｘ＋ａ）^2＋（ｙ−ａ）^2＝４ａ^2　→　ｙ＝ｆ（ｘ）

　ルーローの三角形の重心Ｇ（ξ，η）は

　　（ξ，η）＝（（Ｘ＋ｘ−ａ）／３，（Ｙ＋ｙ＋ａ）／３）

であるが，ＰＱの中点Ｍ（（ｘ−ａ）／２，（ｙ＋ａ）／２）とＲを結ぶ線分の１／３にあり，ＭＲはＰＱと直交することより，

　　（ｙ−ａ）／（ｘ＋ａ）・（（ｙ＋ａ）−２η）／（（ｘ−ａ）−２ξ）＝１

　ＭＲ＝√３ａ，ＭＧ＝√３ａ／３より，

　　（（ｘ−ａ）−２ξ）^2＋（（ｙ＋ａ）−２η）^2＝４ａ^2／３

　また，ＰＧ＝ＱＧ＝２√３ａ／３ａより，

　　（ξ−ｘ）^2＋（η−ａ）^2＝（ξ＋ａ）^2＋（η−ｙ）^2＝４ａ^2／３

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　　（ｙ−ａ）^2／（ｘ＋ａ）^2＝４ａ^2／（ｘ＋ａ）^2−１

　　（（ｙ＋ａ）−２η）^2／（（ｘ−ａ）−２ξ）^2＝４ａ^2／３（（ｘ−ａ）−２ξ）^2−１

より，

　　（４ａ^2／（ｘ＋ａ）^2−１）（４ａ^2／３（（ｘ−ａ）−２ξ）^2−１）＝１

　（ξ，η）の軌跡が２次曲線（楕円）であることを示せればよいが，ここまでくれば求まる（はずである）．

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